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1、最新初中数学精品资料设计第十三章 实数一、基础知识1.有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如 可表示为0.4， 可表示为 等等；所有形如 (m, n为互质的整数，n0)的数都是有理数。 2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：， ，- ，- 。 3.实数：有理数和无理数统称为实数。 我们一般用下列两种情况将实数进行分类： 4.实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。 5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数，则-a表
2、示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如与-， 与- ，m与-m均互为相反数。 6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即如果a是一个实数，则有|a|= 例如，|- |= ，|-|=，| |= ，| - |=-( - )= - 注意：-a(a0)是正数，例如：-( - ) 7.平方根：如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 8.立方根：如果一
3、个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 9. 有理数的运算加法：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0相加不变。 减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘得0。乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫
4、幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 二、经典例题例1.找出下列各数中的无理数：-5，3.1416, , - , ， ，- ，0.808008， ， ， 。 解：无理数是无限不循环小数。3.1416是有限小数； 是无限循环小数；-5，- =-3， =-2是整数； = ， 是分数，所以它们都是有理数。 那么无理数有： , ，- ，0.808008，因为它们都是无限不循环小数。 注意：0.808008是无限不循环小数，只是数字有规律，但不是循环小数，两者区分开。例2.比较下列各组数的大小：(1)与-7 (2)与 (3) - 与 - (4)把下列各
5、数按照由小到大的顺序，用不等号连结起来：4, -3, -4 ，1.414, 0, 0.8, - , , -|4 |, 分析：实数比较大小是综合性较强的题目，往往需要把无理数用近似的有理数代替，再用有理数比较大小的方法来进行比较；有些需要用平方的方法，平方后再比较大小；有时还需找中介值等等。 解：(1)变成统一形式 |- |= , |-7|=7= - -7 (两个负数比较大小，绝对值大的反而小) (2)利用近似数=3.14159, =3.1428 (3) 用平方的方法： ( - )2=13+7-2 =20-2 ( - )2=20-2 20-2 20-2 即( - )20, - 0 - - (4)
6、 - =-1.414, =-1.414, -|4 |=-4 , =3.14159，把所有的数在数轴上找到与它们对应的点(或者变成近似数)，从左到右便可得到： -4 -|4 |-3- 00.81.414 4 例3.化简下列各式： (1) | - | (2) |-3.142| (3) | - |(4) |x-|x-3| (x3) (5) |x2+6x+10| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解：(1) =1.414 | - |= - (2) =3.141593.142 |-3.142|=3.142- (3) 0 |x2+
7、6x+10|= x2+6x+10 例4.计算下列各式： (1) (2) (3) (4)0.2 -0.7 解：(1) =-4+2-3-2=-7 (2) =- +1 =- =- (3) =0.8-0.14+1.1=1.76 (4)0.2 -0.7 =0.220-0.790=4-63=-59 例5.已知(x-6)2+ +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 解：(x-6)2+ +|y+2z|=0 且(x-6)20, 0, |y+2z|0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。 解这个方程组得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 例6.已知： =0，求实数a,
8、 b的值。 分析：已知等式左边分母 不能为0，只能有 0，则要求a+70，分子 +|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。 解：由题意得 由(2)得 a2=49，a=7 由(3)得 a-7，a=-7不合题意舍去。 只取a=7 把a=7代入(1)得b=3a=21 a=7, b=21为所求。 例7.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。 解：设新正方形边长为xcm， 根据题意得 x2=112+138 x2=225 x=15 边长为正，x=
9、-15不合题意舍去， 只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm。 三适时训练（一）精心选一选 1下列运算正确的是（ ）A （） 的平方根为A BC D 的相反数为A BC D 的算术平方根为A4 BC2 D 若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数为A1 B1或0C0 D非负数 的算术平方根A6 BC D3的值必为A正数 B负数 C非正数 D非负数实数在数轴上的对应点分别为A,B,且A在原点右侧，B在原点左侧，且，则的值为A大于零 B小于零 C等于零 D不能确定对于实数若，则A B C D在实数，0，1732，10232 232 232 中无理数有A2 B3 C4 D5实数与
10、互为相反数，则与的关系为A1 B1 C0 D0三峡工程全部竣工后，其年发电量为847亿千瓦时，则该年发电量（单位：千瓦时）用科学计数法表示为千瓦时。A847 B847C847 D0847现有以下四个结论绝对值等于本身的实数只有零；相反数等于它本身的只有零；倒数等于它本身的实数只有1；算术平方根等于它本身的实数只有1.其中正确的个数A0 B 1 C2 D3绝对值大于1小于4的整数的和是A0 B5 C5 D10天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万之一约相当于A 教室地面的面积 B黑板面的面积 C课桌面的面积 D铅笔盒偭的面积已知3，7，且0，则的值等于 A 10 B4 C D下
11、列命题中正确的个数有 实数不是有理数就是无理数；121的平方根是；在实数范围内，非负数一定是正数；两个无理数之和一定是无理数A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（二）认真填一填若，则等于。若 有意义，则为。若，则。在数轴上与表示的距离最近的整数点所表示的数为。绝对值最小的实数为，绝对值小于的整数有个。当实数均为正数时，若时，则； 当实数均为负数时，若时，则。（填 或）。一个数的倒数的相反数是，这个数是。的算数平方根是。若则。当0，时，在实数范围内无意义。当0时，则。边长为的正方形与长、宽分别为9、4的矩形面积相等。当 ，则在数轴中的处。一个自然数的算数平方根是，则与其相邻的下一个自然数的平方根为。 2004年我国外汇储备亿美元，用科学计数法表示为亿美元。近似数0.020精确到位，它有个有效数字。若为自然数，那么。若实数满足，则。在数轴上表示的点到原点的距离为3，则。（三）认真答一答求下列各式中的值。 计算 已知、互为相反数，和 互为倒数，求的值。，为实数且
