第四章复数项级数

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1、1,第四章 级数,第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 泰勒级数 第四节 洛朗级数,一、复数列的极限,二、级数的概念,第一节 复数项级数,三、典型例题,四、小结与思考,3,一、复数列的极限,1.定义,记作,4,2.复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证,5,从而有,所以,同理,反之, 如果,6,从而有,证毕,7,课堂练习:,下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,8,二、级数的概念,1.定义,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,9,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,10,11

2、,2.复数项级数收敛的条件,证,因为,定理二,12,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理二),13,解,所以原级数发散.,课堂练习,14,必要条件,重要结论:,15,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,16,3. 绝对收敛与条件收敛,注意,应用正项级数的审敛法则判定.,定理三,17,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则, 知,18,由定理二可得,证毕,19,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,定义,20,所以,综上:,21,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,三、典型例题,例1,

3、22,解,所以数列发散.,23,例2,解,级数满足必要条件,但,24,例3,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,25,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例4,解,26,四、小结与思考,通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.,27,思考题,28,思考题答案,否.,放映结束，按Esc退出.,29,第二节 幂级数,一、幂级数的概念,二、幂级数的敛散性,三、幂级数的运算和性质,四、典型例题,五、小结与思考,30,一、幂级数的概念,1.复变函

4、数项级数,定义,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,31,称为这级数的部分和.,级数最前面n项的和,和函数,32,称为该级数在区域D上的和函数.,如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定,33,2. 幂级数,函数项级数的特殊情形,或,这种级数称为幂级数.,34,二、幂级数的敛散性,1.收敛定理,(阿贝尔Abel定理),阿贝尔介绍,35,证,由收敛的必要条件, 有,因而存在正数M,使对所有的n,36,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,证毕,37,2. 收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收

5、敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,38,(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,如图:,39,.,.,收敛圆,收敛半径,40,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,41,3. 收敛半径的求法,方法1: 比值法(定理二):,那末收敛半径,42,如果:,即,(极限不存在),即,43,答案,44,方法2: 根值法(定理三),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,45,三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的有理运算,46,2. 幂

6、级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,47,3. 复变幂级数在收敛圆内的性质,48,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,49,四、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,50,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,51,解,所以,52,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,53,级数收敛,且其和为,54,解,利用逐项积分,得:,所以,55,例5 计算,解,56,五、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应

7、掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.,57,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,58,数敛散性讨论.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,59,阿贝尔资料,Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway,Niels Abel,60,第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,61,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,62,由柯西积分公式 , 有,其中

8、K 取正方向.,则,63,64,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,65,令,则在K上连续,66,即存在一个正常数M,67,从而在K内,泰勒级数,68,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,69,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,70,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,71,因为解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,72,那末,即,因此, 任

9、何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,73,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,74,例如，,故有,75,仿照上例 ,76,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,77,例如，,78,附: 常见函数的泰勒展开式,79,80,例1,解,四、典型例题,81,上式两边逐项求导,82,例2,分析,如

10、图,83,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,84,例3,解,85,例4,解,86,例5,解,87,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,88,89,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数.,90,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,91,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,92,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middles

11、ex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England,Brook Taylor,93,第四节 洛朗级数,二、洛朗级数的概念,三、函数的洛朗展开式,一、问题的引入,五、小结与思考,四、典型例题,94,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,95,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,96,结论:,常见的特殊圆环域:,97,例如，,都不解析,而,2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,98,所以,也可以展开成级数：,99,二

12、、洛朗级数的概念,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,100,证,对于第一个积分:,101,对于第二个积分:,102,其中,103,下面证明,104,则,105,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,证毕,106,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,107,三、函数的洛朗展开式,常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法,1. 直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻烦.

13、,108,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,2. 间接展开法,109,四、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,110,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,111,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,112,例2,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,113,114,由,且仍有,115,此时,116,仍有,117,说明:,118,回答：不矛盾 .,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛,119,解,例3,120,例4,解,121,例5,内的洛朗展开式.,解,122,123,124,五、小结与思考,在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函 数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级 数是本节的重点和难点.,125,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,126,洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,放映结束，按Esc退出.,