《高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件 北师大版必修4（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2单位圆与周期性 1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质,【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k2)=_; (2)cos(x+k2)=_,kZ.,sinx,cosx,2.周期性 (1)条件: 对于函数f(x)存在_T; 对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _. (2)结论: 函数f(x)为周期函数; _为函数的周期.,非零常数,f(x),T,3.正、余弦函数的周期性 正、余弦函数都是以_(kZ,k0)为周期的周期函数,最小正周 期为_.,2k,2,4.单位圆与正、余弦函数的性质,-1,1,2,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)若存在非零
2、常数T,对于函数f(x),若存在x值有f(x+T)=f(x),则函数f(x)是周期函数吗? 提示:不一定,如函数f(x)=x2,存在非零常数T=4,存在x=-2,使得f(-2 +4)=f(-2),但是函数f(x)=x2不是周期函数.,(2)周期函数一定存在最小正周期吗? 提示:不一定.如常数函数是周期函数,但是没有最小正周期.,2.关于周期函数,下列说法正确的是_(填序号). 周期函数的定义域可以是有限集; 周期函数的周期只有唯一一个; 周期函数的周期可以有无数多个; 周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得是错误的,是正确的. 答案:,3.函数y=2sinx在区间 上的值域是_
3、. 【解析】当x 时,sinx ,所以2sinx , 即函数y=2sinx的值域是 . 答案:,4.若f(x)是周期为4的函数,且f(1)= ,则f(-3)=_. 【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4) =f(1)= . 答案:,【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题: 问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?,【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最小正周期; (3)如果T是函数的一个周期
4、,则nT(nZ,且n0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.,知识点2 正弦、余弦函数的基本性质 观察图形,回答下列问题: 问题:正弦、余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系?,【总结提升】 对正弦、余弦函数性质的四点说明 (1)正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单位圆直观观察得来的. (2)这些性质适用于整个函数,而不仅仅是在0,2上的性质.,(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值则在单位圆与x轴的
5、交点处取得,要注意区分.,【题型探究】 类型一 函数周期性的应用 【典例】1.(2015南安高一检测)cos 1 110的值为() 2.已知某奇函数的周期为3,且f(-1)=10,则f(10)=_. 3.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),f(1)= ,则f(2015)=_.,【解题探究】1.利用余弦函数的周期性,1110与哪一个角的终边相同? 提示:因为30=1110-3360,故1110与30的终边相同. 2.由函数的周期为3,则与f(10)相等的有哪些值? 提示:f(10)=f(7)=f(4)=f(1). 3.由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),则函数的周期是多少? 提示
6、:因为f(x+1)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),因此周期为2.,【解析】1.选A.因为余弦函数的周期为360,故cos 1 110. =cos(1110-3360)=cos 30= . 2.奇函数的周期为3,故f(10)=f(1)=-f(-1)=-10. 答案:-10 3.因为f(x+1)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),因此周期为2. 故f(2015)=f(1)= . 答案:,【方法技巧】常见周期函数的形式 周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外,还有如下四种形式: (1)f(x+a)=-f(x). (2)f(x+a)= . (
7、3)f(x-a)=- . (4)f(x-a)=f(x+a). 以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.,【变式训练】(2015长春高一检测)sin 的值是() 【解析】选C.,类型二 正弦、余弦函数的基本性质 【典例】1.(2015济南高一检测)函数y= 的定义域为_. 2.函数y=cosx在区间 上的值域为_.,【解题探究】1.题1中开偶次方根时,对被开方数有什么要求? 提示:开偶次方根时要求被开方数为非负数. 2.余弦函数在区间 上的单调性是怎样的? 提示:在区间 上是减少的.,【解析】1.要使 有意义,则必须满足2sinx+10,即 结合单位圆(如图所示)知x的取值范围是 答案:,
8、2.函数y=cosx在区间 上是减少的,故 故 故函数的值域为 答案:,【延伸探究】 1.(变换条件)典例2中若区间改为 则值域为_.,【解析】函数y=cosx在区间 上是增加的,故 在区间 上是减少的,故- y1,故函数的值域为 答案:,2.(变换条件)典例2中若函数改为y=sinx,则值域为_. 【解析】由正弦函数的单调性可知,y=sinx的值域为 答案:,【方法技巧】利用正、余弦函数的单调性求值域 利用正、余弦函数的单调性求函数的值域时,不能直接代入端点值求值域,因为在已知区间上不一定是单调的,所以应先根据正、余弦函数的性质判断在已知区间上的单调性,再求值域.,【补偿训练】(2015朝阳
9、高一检测)sin1,sin1,sin的大小顺序是() A.sin1sin1sin B.sin1sinsin1 C.sinsin1sin1 D.sin1sin1sin 【解析】选B.因为1弧度57.3,y=sinx,当0x90时,为增加的,且11,所以sin1sinsin1.,易错案例 正、余弦函数基本性质的应用 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_.,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是角的范围错误,忽视了“最小内角”对角范围的限制.,【自我矫正】因为x是三角形的最小内角, 则0x ,因为正弦函数在区间 上是增加的, 所以当0x 时, 则0sinx , 即正弦函数y=sinx的值域为 . 答案:,【防范措施】 1.深入挖掘题目中的条件 要重视对题目条件的挖掘和充分应用,一般情况下题目条件应用不充 分,挖掘不透均会导致错误.如本例中用到了三角形中的最小角,需要 在记住三角形内角和为的基础上,推导出最小角的范围 . 2.图像的利用 在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x 时, 最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.,
