《2021年数学新学案同步第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数课件：函数的应用（人教B版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年数学新学案同步第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数课件：函数的应用（人教B版）（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学同步课件讲义教案 汇编整理,4.6函数的应用(二),一,二,一、几种常见的函数模型,一,二,二、三种函数模型性质的比较 1.填空.,一,二,2.做一做:某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据: 则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数() A.y=a+bx B.y=bx C.y=ax2+b 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,指数函数模型 例1诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平上为人类做出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便
2、保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:2015年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示第x(xN+)年诺贝尔奖发放后的基金总额.(2015年记为f(1),2016年记为f(2),依次类推) (1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式; (2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 291.32),当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析:指数型函数模型的应用是高考的一个主要内容,常与增长率相结合进行考
3、查.在实际问题中,有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数型函数模型来表示.通常可表示为y=a(1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式. 解:(1)由题意知f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)6.24%=f(1)(1+3.12%), f(3)=f(2)(1+6.24%)- f(2)6.24% =f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%)2, f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(xN+). (2)2024年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)=19 800(1+3.12%)926 136, 故2025年度诺贝尔奖各项奖金为 f(
4、10)6.24%136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟指数函数模型的应用 指数函数y=ax(a1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同,并且根据已知数据的关系能建立起模型,进而能对未知进行推断.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题. (1)写出该城市的人口总数y(万)与年数x(年)的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万);
5、 (3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万(精确到1年)(1+1.2%)101.127,(1+1.2%)151.196,(1+1.2%)161.21).,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%)(万); 2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2(万); 3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)3(万); 该城市人口总数y(万)与年数x(年)的函数关系式为y=100(1+1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为y=
6、100(1+1.2%)101001.127112.7(万). (3)令y=120,则有100(1+1.2%)x=120, 解方程可得x16, 即大约16年后该城市人口总数将达到120万.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数函数模型 例2 某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mN+)个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中 当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净
7、化. (1)如果投放的药剂质量为m=6,那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)由题设知投放的药剂质量为m=6, 渔场的水质达到有效净化6f(x)6f(x)1 0x5或5x8,0x8. 即如果投放的药剂质量为m=6,渔场水质达到有效净化一共可持续8天.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对数函数模型的应用 对数函数y=logax(x0,a1)经复合可以得到对数型函数
8、,其函数值变化比较缓慢.涉及对数式,因此要格外注意真数的取值范围,还要结合实际问题使所求问题有实际意义.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,延伸探究我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 km的测震仪记录的地震的最大振幅为20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1,其中lg 20.301 0); (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最
9、大振幅的多少倍(精确到1,其中102.6398).,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)依题意可知M=lg 20-lg 0.001=lg =lg 20 000=lg 2+lg 104=lg 2+44.3. 因此这是一次约里氏4.3级的地震. 当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0107.6; 当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0105. 所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,幂函数模型 例3在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(cm3/s)与管道半径r(cm
10、)的四次方成正比. (1)假设气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的表达式; (2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对于幂函数模型在实际的工程、科研等领域都有较广泛的应用,此种模型相对形式简单,但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大,很多实际问题一般直接给出模型结构形式,我们只需分析数据,利用数据确定参数即可.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,建立拟合函数模型 例4某个体经营者把开始六个月试销售A,B
11、两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,请从y= ;y=kx+b;y=ax2+bx+c中选取合适的函数模型拟合A,B两种方案.该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图(1)(2)所示.,观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数
12、模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2, 解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟解决拟合函数模型问题一般有以下步骤: (1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图. (2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了
13、拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了. (3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.58千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减. (1
14、)下列几个模拟函数中y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax,y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由. (2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适. 因为函数y=kx+b,y=log
15、ax,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征. (2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因未弄清函数类型而致误 典例 某林区2018年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%. (1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域; (2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为20
16、0+2005%=200(1+5%); 经过2年后木材蓄积量为200(1+5%2); 经过x年后木材蓄积量为200(1+5%x). 所以y=f(x)=200(1+5%x)(xN+). (2)设x年后木材蓄积量为300万立方米,故经过10年,木材蓄积量达到300万立方米. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:本例错误的根源是没有弄清平均增长率的含义,直接把函数模型建错了.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米. 经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%); 经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2; 所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x. 所以y=f(x)=200(1+5%)x(xN+). (2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值验证可知8x9,所以取x=9,即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米. 防范措施对此类问题首先要弄
