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1、第四章 根轨迹分析法,目的 掌握绘制系统根轨迹的方法 掌握利用根轨迹分析系统的方法,内容 根轨迹方程 绘制根轨迹的基本法则 利用根轨迹进行系统分析,稳定性,即闭环极点 闭环特征方程的根,动态性能,稳态误差,系统的性能,开环放大系数 开环积分环节个数,困 难!,困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！,困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生 变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!,参数改变，系统性能如何改变！, 4.1 根轨迹的基本概念,1.引例,讨论Kg变化时闭环极点的变化。,开环传函,闭环传函,闭环极点,闭环极点在S平面上的变化,系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭 环特征方程的根在S
2、平面上的变化轨迹即为根轨迹,例4-1 系统结构图如图所示，分析l 随开环放大系 数K变化的趋势。,解.,问题： 绘制根轨迹是用描点法吗？ 高阶系统闭环特征方程的根的表达 式如何求?,思路：利用开环传函绘制闭环特征方程的根的变化。,2.根轨迹方程,闭环特征方程,若开环传函,则根轨迹的条件方程为,幅值条件 方程,相角条件方程,注意： 相角条件是确定根轨迹的充分而必要条件 可从幅值条件方程求解得出Kg 。,例4-2 图4-4所示为一个开环传递函数为 的系统的极点位置。试判断s1（-1，j1）、s2（-0.5，-j1）两点是否在其根轨迹上。,-p1,-p2,4. 幅值条件和相角条件的应用,1）用相角条
3、件求根轨迹,解：系统无开环零点 有两个开环极点：p10，p21。 作出向量（s1p1）s1和（s1p2）（s11) 规定以逆时针方向为正值。于是，由s1点导出的向量相角分别为,所以s1不在根轨迹上。,同理，过两极点向s2连线，得向量 （s2p1）s21= -0.5-j （s2p2）s21= 0.5-j 计算可知满足相角条件，所以，s2在根轨迹上。,由满足相角条件的点就可连成根轨迹。这种逐点试探的方法，称为绘制根轨迹的试探法。,由幅值条件得,2）用幅值条件确定Kg值,例4-3 求例4-2中根轨迹上s2点对应的Kg值。 s2（-0.5，-j1）。 解：,缺点：要把在s平面上整个根轨迹找出，是不现实
4、的 优点：实际绘制根轨迹时，往往是，根据轨迹的一些特征描绘出近似曲线，再利用试探法在根轨迹的重要部分进行探测、修正。这样就能既方便，又较准确地求出整个根轨迹图,试探法优缺点分析,4.2 根轨迹绘制的基本法则,1. 根轨迹的连续性,根轨迹是连续变化的曲线,2. 根轨迹的对称性,根轨迹对称于实轴,3. 根轨迹的分支数,n 阶系统，n 条根轨迹,4. 根轨迹的起点和终点,Kg=0 时的闭环极点为根轨迹的起点,n 条根轨迹起始于系统的n 个开环极点,根轨迹的终点,Kg 时的闭环极点为根轨迹的终点,n 条根轨迹终止于系统的 n 个开环零点,mn时，m 条根轨迹终止于系统的 m 个 开环零点,其余n-m
5、条趋于无穷远处,例 已知开环传递函数试确定根轨迹的起点与终点。,解：,5. 实轴上的根轨迹,在实轴上选取实验点 si ，如果实验点 si 右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。,右方 奇 是 ；偶 不 是,例：系统开环传函为,试确定实轴上的根轨迹,解：,取实轴上的点s 开环共轭极（零点）对相角条件无影响,实轴上的根轨迹仅由实轴上的开环零极点的分布所决定,6. 根轨迹的渐近线,若 nm，则 时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为 ，截距为 ，的一组渐近线趋向于无穷远处,根轨迹的渐近线与实轴的交点和夹角,渐近线与实轴的交点,渐近
6、线与实轴的夹角,例 已知系统开环传递函数，试确定根轨迹的分支数、起点和渐近线,解:,例4-4 已知系统的开环传递函数为 试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。 解：系统有4个开环极点和1个开环零点： -p10，-p2-1j1，-p3-1-j1，-p4-4； -z1-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处 截距：,夹角：,当k0，1，2时， 600，1800，3000 3条渐近线如图4-6的虚线所示。,例4-5 已知系统的开环传递函数为 试求根轨迹渐近线的夹角和截矩。 解 将系统的开环传递函数变换成以零、极点表示的形式，即 式中，Kg1.25K。,系统有3个开环极点：p10，p21， p35； 有1个开
7、环零点：z14。所以有2条根轨迹趋于无穷远处。其渐近线的方位是： 当k0，1时，900，2700。,7. 根轨迹的分离点或会合点,根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,分离点,会合点,这个点对应于特 征方程的二重根,在下图画出了两条根轨迹。a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。,分离点、会合点判别：,实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点 实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点,实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点,基于代数重根法则，如果方程 f(x)=0有重根，则f (x)=0的根也
8、是f(x)=0的根。,分离点会合点求取：,重根法：,联立求解上述两个方程，得出分离点公式,例：已知,解：,补充：分离点方程式,解出sd是分离点坐标,若无零点，右端等于0,例4-6 已知控制系统的开环传递函数为 试求根轨迹在实轴上的分离点。 解：（一）用重根法求分离点 D（s）s(s1)(s2)； N（s）1，故 D（s）3s26s2；N（s）0 利用 D(s)N(s) - N(s)D(s)=0 3s2+6s+2=0 解之，得 s10.423，s21.577,本题的实轴根轨迹区间为：（ ，2和1，0， 故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，也就不可能是分离点，故分离点必落在s1处。 解：（二）
9、,分离点方程为,即,解之，得 s10.423，s21.577(舍),分离角,分离角：分离点处根轨迹的切线与正实轴的夹角,8. 根轨迹的出射角和入射角,根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。用a 表示 根轨迹的入射角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。用b表示,根轨迹离开共轭复数极点的出发角 称为出射角 根轨迹趋于共轭复数零点的终止角 称为入射角,入射角,出射角,出射角为,入射角为,例4-11：已知开环传递函数零极点分布图，试确定根轨迹的出射角。,解：,9. 根轨迹与虚轴的交点,利用劳斯判据 令s=j代入闭环特征方程,交点处的增益称为临界根轨迹
10、增益，用Kgp表示,例4-12：已知系统的开环传函，试求其根轨迹与虚轴的交点。,解：,（1）闭环特征方程,（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数,劳斯表,特征方程,在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即 即得根轨迹与虚轴的交点为,（1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。 （2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括 m 个有限零点和（n-m）个无限零点）。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹分支数目为 ，根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。,根轨迹绘制法则归纳如下：,（5）
11、分离点与会合点。满足方程,（6）根轨迹的渐近线。 渐近线的倾角,渐近线交点,（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界 值和交点坐标。,入射角,出射角,（7）根轨迹的出射角与入射角,a =180(2k+1)+ - b=180(2k+1) + -,例 4-14 控制系统的结构如图。系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=Kg / s (s+1) (s+2) 试绘制系统的根轨迹图。 解： 求根轨迹的步骤如下： （1）根轨迹对称于实轴。 （2）本系统n=3,m=0,因此根轨迹共 有三条分支，起点为系统的开环极点 0，-1，-2。终点都趋向于无穷远处。,Kg/s(s+1)(s+
12、2),C(s),R(s),-,图4-10,（3）实轴上的根轨迹分布在0与-1之间，以及-2的左方。如图所示。,图4-11 根轨迹及其渐近线,（4）由于n-m=3，故渐近线有三条。 渐近线的倾角=180(2k+1)/3,令k=0,1,2，得 =60， 180； 渐近线的截距-a= (0-1-2)/3=-1。 （5）由图可出，由于实轴-1和0两个开环极点之间存在根轨 迹，故-10间必有分离点。,解之，得 s10.423，s21.577(舍),令s=j代入闭环特征方程 （8）应用幅值条件确定相应根轨迹的Kg值。例如，求分离点的Kg值。 完整的根轨迹如图4-11所示。,（7）根轨迹与虚轴的交点：,（6）因在-0.42处共有2条轨迹会合后分离，故按 d =180/l可求得分离角d =90,对应的Kgp=6。,作业：P187 4-2 (1) (2) (4) 4-4 (a) (b),
