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1、第三节 协方差及相关系数,协方差 相关系数,量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量X和Y的协方差, 记为 cov(X,Y) , 即:,(4) cov(X1+X2, Y) = cov(X1, Y) + cov(X2, Y),(1) cov(X, Y) = cov(Y, X),一、协方差 (covariance),2. 简单性质:,(2) cov(aX, bY) = ab cov(X, Y), a, b 是常数,cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1. 定义:,(3) cov(C, X) = 0, C 是常数,cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见, 若 X 与
2、 Y 独立, 则cov(X, Y) = 0.,3. 计算协方差的一个简单公式,cov(X, Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即:,特别地:,4. 随机变量和的方差与协方差的关系,D(XY)= D(X)+D(Y) 2cov(X,Y),2. 相关系数的性质：,2) X 和 Y 独立时, =0（此时称X 和 Y 不相关）, 但其逆不真.,证：由于当X 和Y 独立时, cov(X,Y)= 0.,但由 =0 并不一定能推出 X 和 Y 独立.,若 X 与 Y 独立, 则 X 与 Y 不相关. 但 X
3、 与 Y 不相关, 不一定能推出 X 与 Y 独立.,事实上, X的密度函数:,反例: 设 X服从 (-1/2, 1/2)内的均匀分布, 而 Y=cosX,不难求得: cov(X,Y)=0，,因而 =0,即 X和 Y不相关 .,但Y 与X 有严格的函数关系，,即 X 和 Y 不独立 .,存在常数 a, b(b0),使 P Y=aX+b =1,即: X 和 Y 以概率 1 线性相关.,相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的程度.,若 = 0, Y 与 X 无线性关系;,可见, 若 = 1, Y 与 X 有严格线性关系;,若 0 | 1,|的值越接近于1, Y 与 X的线性相关程度越高;,|的值
4、越接近于0, Y 与 X的线性相关程度越弱.,（称X 和 Y 完全相关）,（称X 和 Y 不相关）,三、原点矩 中心矩,1. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩;,称它为 X 的 k 阶中心矩.,可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。,(k-th raw moment),(k-th central moment),可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.,称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩.,称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.,2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,(k+l)-th mixed raw moment),(k+l)-th mixed central moment),四、协方差矩阵,将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:,排成矩阵的形式:,称此矩阵为 (X1, X2) 的协方差矩阵(covariance matrix).,类似定义 n 维随机变量 (X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵.,为 (X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵.,作业,习题4-3 2,3,6,7,8,
