《05、2020高考数学新素养大二轮江苏专用课件：专题二 第6讲 基本不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《05、2020高考数学新素养大二轮江苏专用课件：专题二 第6讲 基本不等式（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲基本不等式,第6讲基本不等式 1.已知正实数x,y满足(x-1)(y+1)=16,则x+y的最小值为.,答案8,解析由题意可得y=-10,所以1x17,所以x+y=(x-1)+8,当且仅当x= 5时取等号,所以x+y的最小值为8.,2.若实数x,y满足x2+y2=2(x+y),则x+y的最大值是.,答案4,解析因为x2+y2=(x+y)2-2xy=2(x+y),所以(x+y)2-2(x+y)=2xy,即(x+y)2 -2(x+y)0,所以0 x+y4,故x+y的最大值是4.,3.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,10)已知a0,b0,且a+3b=-,则 b的最大值为.,答案,
2、解析由a+3b=-可得-3b=a+2(当且仅当a=1时取等号),即3b2+2b-1 0,解得-1b,又b0,所以0b,所以b的最大值为.,4.(2019徐州检测,12)已知正实数x,y满足+=1,则x+y的最小值为 .,答案,解析+=1可化为+=1, 令m=2(x+y), 得+=1,一题多解设m=2x+y,n=2x+3y,则m0,n0,x+y=, 原等式可化为+=1, 则x+y= =(5+4)=, 当且仅当=, 即n=2m时,取“=”.,5.若正数x,y满足+=1,则x+y的最小值为.,答案2+2,解析由题意得x+y=x+(y+2)-2=x+(y+2)-2=2+2+2 ,当且仅当=,且+=1,
3、即x=y=+1时等号成立,故x+y的最小 值为2+2.,题型一直接利用基本不等式求最值 例1(1)(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为. (2)(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的一个 动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.,答案(1)9(2)4,解析(1)以点B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0),C,A, 由点A,D,C三点共线可得=,化简得 ac=a+c,则+=1,则4a+c=(4a+
4、c)=5+5+2=9,当且仅当c =2a时取等号,故4a+c的最小值为9. (2)本题通过曲线y=x+(x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距 离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心,素养. 设P,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=4, 当且仅当x0=,即x0=时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,【方法归纳】(1)基本不等式是解决最值问题的重要工具,条件是“一正二定三相等”,应用时要注意对条件逐一验证,尤其是等号成立的条件.(2)“1”的代换是基本不等式应用的常用题
5、型,灵活应用“1”的代换凑出应用基本不等式的条件是解题的关键.(3)分母是多项式,不便于利用基本不等式时,可通过换分母,变为单项式,再利用基本不等式求解最值,同时要注意对条件“一正二定三相等”逐一检验.,1-1(2019常州期末,9)已知正数x,y满足x+=1,则+的最小值为.,答案4,解析+=1=2+2+2=4,当且仅当 =,即y=x2时,取“=”,故+的最小值为4.,1-2(2019南京、盐城期末,12)若正实数a,b,c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为.,答案,解析由abc=a+2b+c,ab=a+2b, 得c=1+, ab=a+2b,+=1, a+2b=(a+2
6、b)=4+4+2=4+4=8,当且仅当a=2b,即a=4,b= 2时取等号. c.,题型二基本不等式与构造法、放缩法的综合 例2已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=+的最小值是.,答案3+2,【方法归纳】(1)当目标函数与基本不等式的应用在形式上相差较大时,可根据目标函数的特征构造出相应的图形,再结合图形对目标函数化简、求解;(2)当目标函数较复杂时,可根据已知条件对目标函数化简,必要时可利用放缩法.,2-1(2018江苏扬州中学高三模拟)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为 .,答案,题型三利用基本不等式解决实际问题 例3(2019
7、江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,17)为了保护环境,2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度,并给予已经对废气污水处理的企业适当补偿.某医药企业引进污水处理设备,经测算2019年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨污水,可得到价值为100元的可利 用资源,若污水处理不获利,国家将给予补偿.,(1)当x(200,500时,企业是否需要国家补贴,什么情况下企业需要申请国家补贴? (2)每月的处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?,当x120,200时,在x=120处取得最小值240. 当x(200,500时,=x+-2002-200=200(-1),当且仅 当x=,即x=200时取“=”,故的最小值为200(-1). 因为200(-1)240,所以当每月的处理量为200吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低.,【方法归纳】基本不等式是解决实际问题中最值问题的常用方法,解题步骤如下:一是由实际问题建立目标函数,即将实际问题转化为数学问题;二是利用基本不等式求解最值,注意对条件逐一检验,尤其是等号成立的条件,若等号取不到,则应用函数在定义域上的单调性求解.,
