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1、第四章 能带理论,前面讨论了固体直接与离子实有关的问题，例如晶体结构，结合能，振动等，但固体中许多现象与性质主要与电子有关。 本章的主要内容就是用量子力学解释(能带论)与电子运动规律相关的问题。,本章的内容及要求： （1）熟练掌握自由电子模型和紧束缚近似的方法； （2）基本掌握布洛赫定理，周期性边界条件； （3）基本掌握一、二、三维的态密度、能态密度， 费米面的计算； （4）了解一维周期场中电子运动的近自由电子近似 方法、能隙的计算； （5）了解束缚近似原子轨道线性组合法的近似 方法、能带的计算。,3、能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半 导体技术的发展,1、能带理论的研究是从金属理
2、论发展来的，把电子气 当作自由气体，它能解决欧姆定律问题。,2、第一次说明了固体为什么有导体、半导体和绝缘体之 分,能带论 用单电子近似来研究晶体中电子能量状态的 理论，它是研究电子运动的主要理论基础,能带论只是一个近似理论，它的假设前提是： 1、绝热近似 把离子实与价电子分开讨论，离子实的运动相对 于电子运动可以忽略或固定不动，离子实给电子提 供一个固定的周期性势场。 2、单电子近似 假定每个电子运动都是独立的，把多电子问题看 成单电子问题。,共有化电子的运动状态 假定离子实处在其平衡位置，把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，把离子实偏离平衡位置的影响看成微扰。,理想晶体 晶
3、格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性,能带论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子， 而是在整个固体内运动（越过势垒，任意运动） 。 _共有化运动,能带论的核心问题是求解一个在周期势场中的单电子 问题，基本方程：,波动方程,晶格周期性势场,4.1 布洛赫定理和布洛赫波, 方程的解具有以下性质, 布洛赫定理,为一矢量,当平移晶格矢量,波函数只增加了位相因子,布洛赫定理 势场 具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程,当波函数具有如下形式：, 晶格周期性函数, 布洛赫函数,满足布洛赫定理：,近（准）自由电子模型 若电子的能量超过势垒，则电子可以相当自由的在整个固体内运动，近似于自由电子的
4、运动，该模型称为准自由电子近似。 我们采用量子力学的微扰理论，即以自由电子的波函数作为零级近似的波函数，而把周期场作为微扰。,4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似,1. 模型和微扰计算,近自由电子近似模型 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 假定势场的起伏较小,零级近似：,周期性势场的起伏量作为微扰来处理,1）零级近似下电子的能量和波函数, 空格子中电子的能量和波函数,一维N个原子组成的金属，金属的线度,零级近似下,薛定谔方程,波函数和能量本征值,波函数满足正交归一化, l 为整数,2）微扰下电子的能量本征值,哈密顿量,满足周期边界条件,根据微扰理论，电子的能量本征值,一级能量修正
5、,二级能量修正, 按原胞划分写成, 引入积分变量,利用势场函数的周期性,i),ii),将 和 代入, 周期场V(x)的第n个傅里叶系数,二级能量修正式,计入微扰后电子的能量,3）微扰下电子的波函数,电子的波函数,波函数的一级修正,计入微扰电子的波函数,令,可以证明,电子波函数, 具有布洛赫函数形式, 电子波函数的意义,电子波函数和散射波, 波矢为k的前进的平面波, 平面波受到周期性势场作用产生的散射波,散射波的波矢,相关散射波成份的振幅,当相邻原子的散射波有相同的位相,即分母为0时：,散射波,散射波成份的振幅,波函数一级修正项, 微扰法不再适用了, 电子能量的意义,二级能量修正,当, 电子的能
6、量是发散的,k和k两个状态具有相同的能量，k和k态是简并的,4）电子波矢在 附近的能量和波函数,简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成,状态, 是一个小量,周期性势场中，对其有主要影响的状态, 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响,状态 对状态 的影响,简并波函数,薛定谔方程,考虑到,得到,分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分,利用,线性代数方程,a, b有非零解,波函数满足正交归一化,i),波矢k离 较远，k状态的能量和状态k差别较大,将 按 泰勒级数展开,能量本征值, k和k能级相互作用的结果是原来能级较高的k提高原来能级较低的k下降了, 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的
7、能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了, 能级间“排斥作用”,ii),波矢k非常接近 ，k状态的能量和k能量差别很小,将 按 泰勒级数展开,结果分析,i) 两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低,两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-,ii) 当 0 时, 0, 0 两种情形下完全对称的能级图, A和C、B和D代表同一状态，因为它们从0, 0两个方向当0的共同极限,2. 能带和带隙（禁带）, 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线, 微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相
8、互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大,即满足, k状态不计二级能量修正, 抛物线,当电子的, 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用,存在一个的态 ，和 状态能量相同,由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开,能量的突变,两个态的能量间隔, 禁带宽度,电子波矢取值, 对于一个l，有一个量子态k,能量本征值, 当N很大时，Ek视为准连续, 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带,能量本征值在 处断开, 结果分析讨论,1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲,2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处,3) 禁带的宽度, 取决于金属中势场的形式,
9、 能带及一般性质,自由电子的能谱是抛物线型, 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界,产生了宽度 的禁带, 发生能量跃变,在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近, 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带, 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级, 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系,一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系, 每个能带中包含的量子态数目,各个能带k的取值数目, 原胞的数目, 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态, 电子
10、波矢和简约波矢的关系, 第一布里渊区,近自由电子中电子的波矢,在一维情形中 m为整数,简约波矢 的取值范围,简约波矢，计为 和电子波矢k之间的关系, l 为整数, 用简约波矢来表示能级, 电子的能级, m为整数，对应于不同的能带,第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢,移到简约布里渊区,每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像, 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明： 1)它属于哪一个能带（能带标号） 2)它的简约波矢 是什么？,电子波矢k和简约波矢 的关系,周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响, 对于一般的 （远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰,简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算,结果表明在 和 不同能带之间出现带隙 禁带, 用简约波矢来表示零级波函数,零级波函数,将 代入得到, 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带,谢 谢,
