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1、8.2 索末菲的量子自由电子论,前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋等于半整数的粒子费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原理推动了电子自旋概念的确立。 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米狄喇克统计分布。,5.2.1 索末菲自由电子气模型,独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米狄喇克统计分布 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电子的薛定谔方程。,8.2.2索末菲电子气的能量状态,
2、8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解,一维金属晶体中自由电子的能级,波函数在X=0L区间归一化,解得自由电子的波函数是：,自由电子的能量是：,式中，n=1,2,3这正好表明金属丝中自由电子的能量不是连续的，此处的n仅代表自由电子的可取能级。每个能级可容纳两个自旋方向相反的电子。,三维金属自由电子的能级,设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内,三维定态薛定谔方程式为：,驻波边界条件：,归一化条件：,采用分离变量法求解，令,经上 解得电子的波函数的驻波解,电子的能量,电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运动，尽管电子并不是静止
3、的，但电子的平均动量和平均速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当L趋于无穷大，得不到平面波。 人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让电子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行波解。,有此求得波矢,自由电子定态波函数的行波解为：,补充,薛定谔方程简介,5.2.2 单电子的本征态和本征能量,1.电子气的本征态,第一种解法：驻波解,该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。,通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。 金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、 ny、 nz确定
4、了一个波矢k，对应两个量子态。,第二种解法：行波解,它是自由电子波函数，是前进的平面波，称为行波解,波矢k,由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。,其中,图2.5 K空间的状态分布,说 明,电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。 故k的取值为lb/n，即l2/na时，意味着电子波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。,作业,1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁德模型的区别. 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界条件推导金属中电子的能量.说明量子化成立的条件.,
