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1、专题21 函数与导数综合【母题原题1】【2020年高考全国卷，理数】设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直（1）求b（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为，由题意，即则；（2）由（1）可得，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1零点，则或，即或.当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一
2、一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.【母题原题2】【2019年高考全国卷理数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由【答案】（1）见详解；（2）或【解析】（1）令，得x=0或若a>0，则当时，；
3、当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减（2）满足题设条件的a，b存在（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0<a<3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0<a<3矛盾若，则或或a=0，与0a0（或<0）解出相应的x的取值范围，对应
4、的区间为f（x）的单调递增（减）区间还可以通过列表，写出函数的单调区间2证明或讨论函数的单调性方法一：求出在对应区间上导数的正负即得结论方法二：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f （x），并求方程f （x）=0的根；（3）利用f （x）=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f （x）的正负，由符号确定f（x）在该子区间上的单调性【知识总结】1函数的极值设函数y=f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）极大值与极小值统称为极值一般地，当函数f（x）在x0处连续时
5、，（1）如果在x0附近的左侧f （x）>0，右侧f （x）<0，那么f（x0）是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f （x）<0，右侧f>0，那么f（x0）是极小值注意：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f（x2）极大值与极小值之间无确定的大小关系（2）极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数（3）f （x0）=0是x0为f（x）的极值点的必要而非充分条件例如，f（x）=x3，f （0）=0，但x=0不是极值点2函数的最值在区间a，b上连续的函数f（x）在
6、a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上连续的函数f（x）若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点注意：极值与最值的区别与联系极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个3利用导数解决函数单调性问题应该注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；（2）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f （x）>0与f （x）<0这两个不等式的解集问题来处理； f="&quo
7、t; y="f（x）的图象与函数f（x）图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等">0（或f （x）<0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围（4）若已知f（x）在D上不单调，则f（x）在D上有极值点，且极值点不是D的端点6求函数f（x）在a，b上的最值的方法（1）若函数在区间a，b上单调递增
8、或递减，f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值；（2）若函数在区间a，b内有极值，要先求出函数在a，b上的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到注意：求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值7已知函数的极值、最值求参数（1）已知函数的极值求参数时，
9、通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件（2）已知函数的最值求参数，一般先求出最值（含参数），再根据最值列方程或不等式（组）求解8利用导数解决不等式问题（1）利用导数证明不等式的方法证明f（x）<（>）g（x），x（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F（x）<（>）0，则F（x）在（a，b）上是减（增）函数，同时若F（a）（）0，由减（增）函数的定义可知，x（a，b）时，有F（x）<（&
10、gt;）0，即证明了f（x）<（>）g（x）其一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论（2）不等式成立（恒成立）问题f（x）a恒成立f（x）mina，f（x）a成立f（x）maxaf（x）b恒成立f（x）maxb，f（x）b成立f（x）minbf（x）>g（x）恒成立F（x）min>0x1M，x2N，f（x1）>g（x2）f（x1）min>g（x2）minx1M，x2N，f（x1）>g（x2）f（x1）min>g（x2）maxx1M，x2N，f（x1）>g（x2）f（x1）max>g（x2）minx1M，x2N
11、，f（x1）>g（x2）f（x1）max>g（x2）max注意：不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f（a）g（x）（f（a）g（x）对存在xD能成立等价于f（a）g（x）min（f（a）g（x）max），f（a）g（x）（f（a）g（x）对任意xD都成立等价于f（a）g（x）max（f（a）g（x）min），应注意区分，不要搞混9导数在研究函数零点中的应用（1）研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等（2）用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决1（2020广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三一模（理）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在区间上是减函数，在区间上是增函数；（2）【解析】【分析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式化为，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】解：（1）所以为增函数，又因为/a
