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1、学 海 无 涯第6章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为和的两个点电荷分别置于m和m处。一试验电荷置于轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷位于点电荷的右侧，它受到的合力才可能为，所以故 2. 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知，为负电荷，所以故 (2)与三角形边长无关。3. 如图所示，半径为、电荷线密度为的
2、一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为、电荷线密度为的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取，在带电圆环轴线上处产生的场强大小为xyz根据电荷分布的对称性知，式中：为到场点的连线与轴负向的夹角。下面求直线段受到的电场力。在直线段上取，受到的电场力大小为方向沿轴正方向。直线段受到的电场力大小为方向沿轴正方向。4. 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求：（1）圆心处点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处点场强。解：（1）在半圆环上取，它在点产生场强大小为 ，方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知
3、， 故 ，方向沿轴正向。（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。5如图所示，真空中一长为的均匀带电细直杆，总电量为，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为的点的电场强度。 解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取，在点产生的场强大小为，方向沿轴负方向。xO故 点场强大小为 方向沿轴负方向。6. 一半径为的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。ORxdlr在半球面上取宽度为的细圆环，其带电量， 在点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式） ，方
4、向沿轴负方向利用几何关系，统一积分变量，得因为所有的细圆环在在点产生的场强方向均沿为轴负方向，所以球心处电场强度的大小为方向沿轴负方向。7. 一“无限大”平面，中部有一半径为的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为，如图所示。试求通过小孔中心并与平面垂直的直线上各点的场强。解：应用补偿法和场强叠加原理求解。若把半径为的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为的带电圆盘，由场强叠加原理知，点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。“无限大”带电平面在点产生的场强大小为，方向沿轴正方向半径为、电荷面密
5、度的圆盘在点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）xPx，方向沿轴负方向故 点的场强大小为方向沿轴正方向。8. (1)点电荷位于一边长为的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少? 解：（1）由高斯定理求解。立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则通过边长的正方形各面的电通量对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，如果它包含所在顶点，则。9. 两个无限
6、大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强。解：如图所示，电荷面密度为的平面产生的场强大小为，方向垂直于该平面指向外侧电荷面密度为的平面产生的场强大小为，方向垂直于该平面指向外侧由场强叠加原理得两面之间，方向垂直于平面向右面左侧，方向垂直于平面向左面右侧，方向垂直于平面向右10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为和，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（）。试求各区域的电场强度分布。解：电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得 当时，所以 当时，所以 当时，所以 11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为和（），若大球面的面电荷密度为，且大球面外
7、的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。解:（1）电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得 当时，所以（2）当时，所以 当时，所以负号表示场强方向沿径向指向球心。12. 一厚度为的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为，底面圆的面积为。由高斯定理得当时（平板内部），所以当（平板外部），所以13. 半径为的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为，求其场强分布。解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱
8、面高为，底面圆半径为，应用高斯定理求解。 (1) 当时， ，所以(2) 当时，所以 14.一半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心点的电势。解：取半径为、的细圆环，则在点产生的电势为 圆盘中心点的电势为 15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是和。取两环的轴线为轴，坐标原点O离两环中心的距离均为，如图所示。求轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。解：在右边带电圆环上取，它在轴上任一点产生的的电势为右边带电圆环在产生的的电势为同理，左边带电圆环在P产生的电势为由电势叠加原理知，的电势为16. 真空中一半径为的球形区域内均匀分
9、布着体电荷密度为的正电荷，该区域内点离球心的距离为，点离球心的距离为。求、两点间的电势差解：电场分布具有轴对称性，以为球心、作半径为的同心球面为高斯面。由高斯定理得当时， ，所以、两点间的电势差为17细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为和，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为。求：（1）内圆柱面上单位长度所带的电量；（2）在离轴线距离处的电场强度大小。解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为，底面圆半径为，应用高斯定理求解。 内、外两圆柱面之间，所以内、外两圆柱面之间的电势差为 内圆柱面上单位长度所带的电量为（2）将代人场强大
10、小的表达式得，在离轴线距离处的电场强度大小为18. 如图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功。解：点的电势为点的电势为电场力作的功为 19如图所示，均匀带电的细圆环半径为，所带电量为（），圆环的圆心为，一质量为，带电量为（）的粒子位于圆环轴线上的点处，点离点的距离为。求：（1）粒子所受的电场力的大小和方向；（2）该带电粒子在电场力的作用下从点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无穷远处时的速度为多大？解：（1）均匀带电的细圆环在点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式），方向沿向右粒子所受的电场力的大小，方向沿向右（2）在细圆环上取，在点产生的电势为点的电势为由动能定理得，10
