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1、第三章 电路的暂态分析,电路在一定条件下可以处于稳定状态，但条件发生变化时电路的状态就会发生变化。并且，任何稳定状态都是由其它状态转换来的。,在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，而需要一个过程即过渡过程。电路中也有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。,电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流的存在使电容继续放电。,本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也就是电路的暂态过程。,可见只要 uC 0，则放电过程就不能停止
2、，但电阻的存在又不能使电流过大，直至电容电压 uC = 0 为止。,研究暂态电路的方法：,一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定律。,实验分析方法，将在实验课程中应用示波器等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。,研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规律。,本章主要分析RC及RL一阶线性电路的暂态过程，电路的激励仅限于阶跃电压或矩形脉冲电压。,重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常数。,6-1. 换路定则 u 与 i 初始值的确定,换路指电路因接通、断开、短路以
3、及电压或电路参数的改变。,换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0 和t=0+分别是换路前后的极限时刻。从 t=0 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压不能突变。可表示为,暂态过程的初始值,由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值。,初始值的确定，要依据换路定则及电路性质来分析，也受电路约束方程的制约。,换路前的瞬间，将电路视为稳态电容开路、电感短路。,换路后的瞬间，将电容用定值电压 uC(0) 或电感用 i L(0) 定值电流代替。若电路无储能，则视电容C为短路，电感L为开路。,根据克希荷夫定律计算出其它电压及电流各量。,例,
4、试确定如图电路在开关S闭合后的初始值。,解,设开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路：则 t = 0时刻,例,则 t = 0+ 时刻,S,例,试确定如图电路在开关S 断开后的初始值。,在 t = 0 时刻,在 t = 0 + 时刻,解,6-2. RC电路的响应,对暂态电路用经典的分析方法，就是根据激励计算电压和电流响应的时间函数，这是一种时域分析法。,本节讨论一阶RC电路,一、RC电路的零输入响应,所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在电容元件的初始状态作用下所产生的响应。,实际上也就是分析在电容元件放电过程中所产生响应的规律。,RC电路的一阶响应,而,此式是关
5、于uC 的一阶线性微分方程。可知其通解为,在开关S由2 掷向1 时，RC回路电压方程为,其中A为积分常数(与初始值有关),对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，也可应用分离变量法求解。,RC电路的一阶响应,得,时间常数 = RC 的意义,在前面讨论中，知暂态过程的变化与RC乘积有关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为,U0为电容换路瞬时的端电压，RC乘积具有时间的量纲，称为电路的时间常数。当 t = RC 时,uC 随时间的变化关系曲线如右图,RC电路的一阶响应,RC电路的一阶响应,很显然，从理论上讲，电路只有经过的时间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经过（35）时，就足可以认为达到稳定状
6、态。,RC电路的一阶响应,的几何意义：次切线的截距,的计算：从C两端看进去的戴维南等效电阻。,的实验求法：,从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。,RC电路的一阶响应,RC电路的能量平衡关系,已知S闭合前电路已处于稳定状态，R1=R2=50，R3=100，C=0.02F。试求在t=0时，S断开后的uC（t）和i3（t）,解：,先求uC（0-）,三、RC电路的零状态响应,所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，uC(0)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。,电路 (见右图 ),初始值,电路的激励,电路方程,其中,应用分离变量法可得,在 t 0 时，回路
7、的电压方程为,将上式积分，得,整理后，有,考虑初始条件,得,则电容的暂态电压为,RC = 仍为电路的时间常数，当 t = 时,电容中的电流为,三、RC电路的全响应,全响应 是指电源的激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时的电路响应。根据叠加原理，可认为是零输入响应与零状态响应的叠加。,以如图电路为例，说明电路的响应规律。,初始值的确定：,在t=0时，,电路的方程,在 t0时，,或,整理后得,或,用分离变量法求所得方程,分离变量后，有,或,积分后,即得到通解,确定积分常数,得,即,上式右边分别为零输入响应和零状态响应。,时间常数,它等于电路在响应过程中，电容与其并联等效电阻之积。,如图与
8、电容并联的等效电阻为R1与R2并联。,综上所述，计算线性电路暂态过程的步骤可归纳如下：,对换路后的电路列微分方程； 求解微分方程的通解，可用分离变量法或应用一阶线性微分方程的公式法进行求解；,根据换路定则确定暂态过程的初始值； 确定方程解的积分常数， 根据电路理论进一步计算其它待求量。,6-3. 一阶线性电路暂态分析的三要素法,只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的电性电路，其电路方程都是一阶线性常系数微分方程。 这种电路都是一阶线性电路。,根据前面讨论，一阶RC线性电路的响应都可以看作是由稳态分量和暂态分量相加而得, (t) 可以是电压或电流； () 是稳态分量； Ae-t/ 是暂态分量
9、。,如讨论RC电路全响应时得到：,其中,及,为时间常数,则上式可改写为,这就是三要素法求得的结果,三要素法公式为,在计算一阶线性电路中的任一暂态量时，只要求得该变量的f (0+)、 f ()和电路的时间常数这三个“要素”，就可以根据公式写出该量的暂态响应。三要素法公式也可这样记忆：,例,试用三要素法写出图示曲线所示uC暂态响应。,解,由图可知,求时间常数：,即,所以,6-5. RL电路的响应,电感也是储能元件。由RL构成的线性电路也是一阶线性电路，也具有暂态过程,与RC暂态电路一样，RL 电路也具有零状态响应、零输入响应及全响应。,RL 电路的响应规律计算与RC电路响应一样，可用解析法求解微分
10、方程或用三要素法进行分析。,用三要素法进行分析时，需对欲求量的初值及稳态值的计算；要注意对时间常数的求解。,以下根据例题说明RL 一阶线性电路的分析过程。,例,计算如图换路后的电流i L。,解,在t0 时，S闭合,考虑,有,令时间常数,用分离变量法解方程,得,考虑初始条件,得,即,代入数据,由此得,对于 i 1,对于 i 2,6-4. 微分电路与积分电路,与6-2节讨论的暂态过程不同，本节从输入输出的传输关系上讨论RC电路的特征规律。针对矩形脉冲激励，在不同的电路时间常数的情况下构成输出电压的微分或积分响应的关系。,矩形脉冲,对如图电路，在t=0时，将开关合到位置2上，在t=t1时，将开关合到
11、位置1上，这样相当于RC电路得到矩形脉冲电压 u1。,2,1,脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp。若有周期性则周期为T。,一、 微分电路,设如图RC电路处于零状态，输入为矩形脉冲电压 u1，在电阻R两端输出的电压为 u1 = u2 。电压 u2 的波形与电路的时间常数和脉冲宽度tp有关。,tp,从前面讨论可知，时间常数越小则脉冲越窄越尖。,在 t=0 时，输入电压上升，变化率为正且很大, 输出电压值很大。,在 t= tp 时，输入电压下降, 变化率为负且很大，输出电压值为负值也很大。符合与输入电压的微分关系。根据电路可推导如下：,由于 tp，除了充放电开始的极短瞬间外，有,因而,上式表明，u2与u1的微分近似成正比关系。,RC微分电路具有两个要求： （1） tp(一般0.2 tp)；（2）从电阻两端输出电压。,二、积分电路,同样是RC串联电路, 如果条件发生变化所得结论也要发生变化。如果条件转变为: (1) tp; (2)从电容器两端输出, 则电路就转化成积分电路。,由于 tp，电容器充电缓慢，未等电压充到稳定值, 脉冲就已结束, 然后开始放电。输出形成锯齿波。,对于缓慢的充放电过程, u2=uCuR, 因此,或,所以输出电压为,
