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1、推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第九章,第一节,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,本节重点,了解多元函数的基本概念 会求函数的定义域 会求简单的多元函数的极限 知道极限不存在的说明方法,平面点集，n维空间,一、 平面点集 n维空间,直线R中的点集,实数集，一维空间,区间,自然数集,1、平面点集,实平面，二维空间，坐标平面,平面点集,常见平面点集,2. 邻域,回忆： R中的邻域；,平面中的邻域,点P0（x0，y0）的邻域；,空间中的邻域,点P0（x0，y0，z0）的
2、邻域；,说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,3. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(2) 聚点与孤立点,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是
3、E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,E 的边界点 ),所有聚点所成的点集称为 E 的导集 ，记作 ., 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,例如，,即为开集,开集不包含它的任何边界点, 若点集 E E , 则称 E 为闭集；, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,点集E是闭集，是指它包含了 它的每一个非孤立的边界点。,例如,即为闭集,(3) 开集与闭集,(4) 开区域及闭区域, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,
4、。 。,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,二元函数的概念,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,多元函数的定义域,多元函数的定
5、义域：明确指定或约定,定义域的约定：,使函数表达式有意义的所有点的集合。,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,二元函数的图形,求多元函数的表达式,例 设 ，,求,解,因为,得,所以,多元函数的极限,三、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例1 求证,证,当 时，,原结论成立, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P
6、(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例2. 讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注. 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 ., 多元函数的极限运算法则与一元函数类似，比如,四则运算法则,夹逼准则,等价无穷小代换（因式代换）,但罗比达法则不再成立！,例3 求极限,解,其中,多元函数的连续性,四、 多元函数的连续性,定义3 . 设
7、 二 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 二元函数,连续.,连续,回忆一元函数的连续性,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,故 ( 0, 0 )为其间断点.,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,多元初等函数；,由多元多项式及基本初等函数经过,有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个,式子所表示的多元函数叫多元初等函数,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。,初等函数,处处连续,又如, 函数,上间断.,在圆周,例4,解,例5. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,课内练习 p63,6(6),定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),作业,P62 3，5（偶数）， 6（奇数），7,8,
