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1、流 体 动 力 学,同济大学航力学院,INDEX 流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 过流断面的压强分布 总流的伯努利方程 气体的伯努利方程 动量方程 动量矩定理,流体的运动微分方程,1.理想流体运动微分方程,（1）平衡微分方程,（2）运动微分方程,欧拉运动微分方程,分量式,常与连续性微分方程,联立,（1）,（2）,（3）,2.粘性流体运动微分方程（粘性作用切应力）,纳维-斯托克斯方程（N-S方程）,分量式,元流的伯努利方程,1.理想流体元流的伯努利方程,（1）推导方法一,只有重力,不可压缩恒定流,将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、dz，并相加,积分,（3）物理意义,单位重量流
2、体的总势能（m）,单位重量流体的动能（m）,位置水头+压强水头,速度水头,单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）,2.粘性流体元流的伯努利方程,能量守恒,3.方程适用范围,恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流,4.应用：皮托管测流速,水（）-水银（）,h,1,2,c流速系数（11.04）,气（） -液（）,过流断面的压强分布 为推导总流的伯努利方程作准备,均匀流,流线平行,非均匀流,渐变流,急变流,流线近于平行,过流断面的选取均匀流、渐变流,均匀流,急变流,渐变流,1.过流断面的压强分布,服从流体静力学规律,p2,p1,l,A,G,z2,z1,0,0,2.例,3.急变流压强的分布,沿惯性力方向
3、，压强增加、流速减小,FI,总流的伯努利方程,1.总流的伯努利方程,元流的伯努利方程,推导：,两边同乘以gdQ，积分,（1）势能积分,（2）动能积分,动能修正系数,层流=2紊流=1.051.11,（3）水头损失积分,总流的伯努利方程,总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别 （1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个 计算点相对于基准面的高程； （2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压 强或同为相对压强）； （3）v1、v2断面的平均流速,2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程,3.有分流（或汇流）的伯努利方程,1,1,2,2,3,3,4.水头线,总水头线,测压管水头线,
4、水流轴线,基准线,例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线,解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程,作水头线,H,1,1,2,2,0,0,总水头线,测压管水头线,连续性方程,能量方程（忽略损失）,例 文丘里流量计,仪器常数K,流量系数（0.960.98）,注意： 水（）-水银（） 气（）-液（）,关于气蚀： 低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称气蚀（空蚀）,关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径d=150mm
5、，水温40，收缩管直径应限制在什么条件下，才能保证不出现空化？（不考虑损失）,10m,解：水温40，汽化压强为7.38kPa,大气压强,汽化压强,列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）,列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）,1,1,2,2,3,3,10m,连续性方程,例：定性作水头线,p,总水头线,测压管水头线,p,总水头线,测压管水头线,p,总水头线,测压管水头线,气体的伯努利方程,1.气体的伯努利方程,（1）用绝对压强（m）,常用压强表示（Pa）,v1,v2,p1,p2,z1,z2,0,0,a,1,1,2,2,（2）用相对压强,用相对压强计算的气体伯努利方程,v1,v2
6、,p1,p2,z1,z2,0,0,a,1,1,2,2,用相对压强计算的气体伯努利方程,p静压 v2/2动压 (a-)g(z2-z1)位压,注意：z2-z1下游断面高度减上游断面高度（）； a-外界大气密度减管内气体密度（） ； z2=z1或a=位压为零,2.压力线,总压线,势压线,位压线,零压线,动压,静压,位压,全压=静压+动压,总压=静压+动压+位压,3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9v2/2，大气密度a=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为=0
7、.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强,A,B,100m,40m,C,解：,（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程,作压力线,117.6,B,总压线,势压线,p,A,A,B,100m,40m,C,（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程,即,作压力线,276,B,总压线,势压线,158,位压线,p,例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流出烟囱，空气a=1.2kg/m3，烟气=0.6kg/m3，损失压强pw=29v2/2，求出口流速，作出压力线，并标出c处的各种压强,解：取a、b断面列能量方程,a,b,c,d,0m,5m,50m,作压力线,c点：,2
8、94,c3,c2,c1,c,总压线,势压线,位压线,零压线,a,b,d,动 量 方 程 解决流体与固体壁面的相互作用力,1.动量方程,控制体内流体经dt时间，由-运动到-，元流经dt时间，由1-2运动到1-2 元流动量方程：,1,1,2,2,总流动量方程：,动量修正系数,层流=1.33，紊流=1.05-1.021,不可压缩流体：,分量式：,适用范围：恒定流、不可压缩流体,2.例：一水平放置的弯管，管内流体密度，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角，不计流动损失，求弯管所受流体作用力,解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体,b.画控制体的受力图：,c.连续性方程：
9、,d.能量方程（z1=z2=0）：,p1A1、p2A2、FFx，Fy,v1A1=v2A2,v1,v2,p1,p2,1,1,2,2,Fx,Fy,F,f.解出Fx、Fy,g.由牛顿第三定律，弯管受力F与F大小相等，方向相反,e.动量方程,v1,v2,p1,p2,1,1,2,2,Fx,Fy,F,注意： 1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑； 2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负； 3.牛顿第三定律,例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、v2，求螺栓组受力,解：（a）取1-1、2-2断面间的水为控制体,（b）受力图p1A1，F,注意：（1）p2=0； （2）螺栓是作用在 管壁上，不是作用
10、 在控制体内，千万 不可画！,d,D,v2,v1,p1,F,1,1,2,2,（d）能量方程,（e）动量方程,（f）解出F,（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F与F大小相等、方向相反,（c）连续性方程,d,D,v2,v1,p1,F,1,1,2,2,例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0，流量Q，密度，求挡板受射流作用力,解：a.控制体,b.受力图：F,注意：p1=p2=0,c.动量方程（水平方向）：,d.牛顿第三定律,Q、v0,F,2,2,2,2,1,1,讨论： 1.如果射流在斜置光滑挡板，求挡板受力和Q1、Q2,a.F挡板,b.列挡板法线方向的动量方程：,c.能量方程：,Q、v0,Q2、v
11、2,Q1、v1,F,牛顿第三定律,Q、v0,d.连续性方程：,e.列挡板方向的动量方程：,由c、d和e解出Q1、Q2,Q1+Q2=Q,Q2、v2,Q1、v1,F,2.如果射流在水平位置的小车，小车以速度v运动，求小车受力F及当小车v为何值时，可由射流获得最大功率,注意：控制体入流速度为相对速度vr=v0-v，流量为相对流量Qr=vrA=(v0-v)A,V0A,F,v,b.功率：,c.,解,（舍）,a.动量方程：,牛顿第三定律,V0,A,F,v,动 量 矩 定 理 解决流体旋转与固体壁面的相互作用力,1.动量矩定理,动量定理：,动量矩定理：,r,v2,2.例：从洒水器的下方注入高压水流，上行至旋转管处分为两股，各旋转臂经喷嘴切向喷出，水流Q=1000mL/s，每个喷嘴出口面积都为A2=30mm2，旋转臂长r2=200mm，要施加多大阻力矩Mz才可保持洒水器不转？,解：取洒水器转动方向为正（逆时针）,牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反,Mz,v1,v2,讨论： a.如果当洒水器以n=500r/min转动，求Mz,Mz,v1,v2,牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反,b.阻力矩为零时，洒水器的转速n,c.注意：,（局部）,v,
