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1、2013 年高中数学教学论文高次方程的解法 1 / 2 高次方程的解法 有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。其实高次方程没什么难的，学数 学应该学会举一反三。我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公 式记住了， 但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。其实学数学应该学会理解，注重理 解，而不在于死记公式。比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是 一元二次方程有几种解法。 一元二次方程有以下几种解法： 1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解 有很多学生对一方法根本就不懂。因为我问到他们时， 他们绝大多数都是只会这
2、个求根公式， 一问起是怎么推导的， 他们根本就不知道。 其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的， 配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。如果能够彻底理解 这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。 比如说对于二次方程ax 2+bx+c=0，我们知道可用配平方 （完全平方公式）法配成缺少一 次项系数的二次方程，即配成关于x 的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接 开平方法解出此方程。那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三 次方程ax 3+bx2 +cx+d=0 是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是
3、配立方法 了。通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊 的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x 的项，这样用配立 方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。所以对于某特殊的三次方 程也适用于配方法的。比如说x 3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式 （x+2） 3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根 X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后， 可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配 四次方法来解） 。所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。对于某些特殊的
4、高次方 程也应该会解。 2、因式分解法：这种方法适合一些根为整数的方程。可以解一些特殊的二次方程。比 如说方程x 2 +x-2=0 ，可以分解因式为（x+2）(x-1)=0 ，那可以解得X1=-2，X2=1。同样我们 应该考虑二次以上次数的方程也有可能适用此法。比如说一元三次方程x 3+18x2+72x+64=0， 仔细观察这个方程，发现该方程的三次项和常数项可以组合，用立方和公式公解，18x 2 +72x 这一部分可以提取公因式x，那么这两个代数式分解之后有公因式（x+4） ，那么又可以提取 公因式（ x+4） ，从而求出该一元三次方程的根。 综上所述， 二次方程的某些方法，是可以推广到某些
5、特殊的高次方程上面的。学了二次 方程，如果会举一反三，对某些高次方程应该轻而易举就会解出来的。 其实不论二次方程的配平方法或者是因式分解法，其主旨思想都是降次，把二次降为一 次就解出来了。 实际上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是三次的就想办法降为一次的 或两次的。 关键是怎么降次，降次的方法， 下面通过举例说一下某些特殊高次方程的几种解 法。 1、换元法： 例如四次方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0，可以分成 (x+2)(x+3)和 (x+1) (x+4)两个因式， 然后这两个因式分别乘出，得到 （x 2+5x+6） (x2+5x+4)+1=0 ， 设 x 2+5x=y，
6、代入方程，得： （y+6）(y+4)+1=0 ， 最后整理得，y 2 +10y+25=0，解得 y1=y2=-5， 2013 年高中数学教学论文高次方程的解法 2 / 2 然后代入x 2+5x=y，得 x2+5x=-5 ， 再解这个二次方程，即可求出原方程的四个实数根。 2、配方法： 例如四次方程x 4+6x3+13x2+12x+4=0，这个方程如果不仔细看， 好像是看着很乱，找不 到求解的头绪， 其实如果试用配方法解，应该是很容易的。先通过配平方法将三次项式系数 化掉， 即（ x 2+3x）2+4x2+12x+4=0， 然后观察 正好后面的系数比和括号里的一样， 即（ x 2+3x）2+4（
7、x2+3x）+4=0， 这样就可以用换元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通过这个例 子我们可以看出， 对于某些最高次数为合数的N次方程，不仅可以考虑使用配N次方的方法， 也可以考虑使用配N的因数次方的方法。例如四次方程可以考虑配平方的方法，六次方程可 以考虑配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考虑配三次方的方法等等。 3、因式分解法： 例如解三次方程x 3+x2+3x+27=0，可以分解因式为 （ x+3）(x 2-3x+9)+x(x+3)=0 ， 提取公式 因式 (x+3) ，得（ x+3）(x 2-2x+9)=0 ， 然后就通过解x 2-2x+9=0 、x+3=0 这两个方程， 解原方程只有一个实根x=-3 。 以上这些解高次方程的方法仔细想一下，都来自于解二次方程的方法。所以学数学应该 学会举一反三。 下面出几道题供学生练习参考 解下列方程： 1、（x+1) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+9=0 2、 x 3+8x2-4x-32=0 3、x 4+2x3-x2+2x+1=0 4、 x 3+6x2+11x+6=0
