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1、2013 年高中数学教学论文含有函数记号 “ f(x) ”有关问题解法 - 1 - / 4 含有函数记号“ ( )f x”有关问题解法 由于函数概念比较抽象， 学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难， 学好这部分知识， 能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化 学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )f x， 这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例 1：已知()21 1 x fx x , 求( )f x. 解：设 1 x u
2、x , 则 1 u x u 2 ( )21 11 uu f u uu 2 ( ) 1 x f x x 2. 凑合法： 在已知( ( )( )fg xh x的条件下， 把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式， 再利 用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例 2：已知 3 3 11 ()f xx xx ，求( )f x 解： 22 2 11111 ()()(1)()()3)f xxxxx xxxxx 又 11 | |1 | xx xx 23 ( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中
3、的未 知系数。 例 3 已知( )fx二次实函数，且 2 (1)(1)fxf xx+2x+4, 求( )f x. 解: 设( )fx= 2 axbxc，则 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc = 22 222()24axbxacxx 2013 年高中数学教学论文含有函数记号 “ f(x) ”有关问题解法 - 2 - / 4 比较系数得 2()4 13 21,1, 22 22 ac aabc b 2 13 ( ) 22 f xxx 4. 利用函数性质法: 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式 . 例 4. 已知y=( )f x为奇函数 , 当
4、x0 时,( )lg(1)f xx, 求( )fx 解: ( )f x为奇函数， ( )f x的定义域关于原点对称，故先求x0, ()lg(1)lg(1)fxxx, ( )f x为奇函数， lg(1)()( )xfxf x 当x0 时( )lg(1)f xx lg(1),0 ( ) lg(1),0 xx f x x x 例 5 一已知( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，且有( )f x+ 1 ( ) 1 g x x ， 求( )f x,( )g x. 解：( )f x为偶函数，( )g x为奇函数， ()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g
5、x= 1 1x 中的x, 1 ()() 1 fxgx x 即( )f x 1 ( ) 1 g x x 显见 +即可消去( )g x, 求出函数 2 1 ( ) 1 f x x 再代入求出 2 ( ) 1 x g x x 5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出( )f x的表达式 例 6： 设( )f x的定义域为自然数集，且满足条件(1)( )( )f xf xfyxy, 及(1)f=1, 求( )f x 解：( )f x的定义域为N，取y=1, 则有(1)( )1f xf xx (1)f=1, (2)f=(1)f+2, 2013 年高中数学教学论文含有函数记号 “ f(x) ”有
6、关问题解法 - 3 - / 4 (3)(2)3ff ( )(1)f nf nn 以上各式相加，有( )f n=1+2+3+ +n= (1) 2 n n 1 ( )(1), 2 f xx xxN 二、利用函数性质，解( )f x的有关问题 1. 判断函数的奇偶性： 例 7 已知()()2( )( )f xyf xyfx f y, 对一切实数x、y都成立，且(0)0f, 求证( )f x为偶函数。、 证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )f yfyff y 在中令 y=0 则 2(0)f =2(0)f (0)f0 (0)f=1 ( )()2 ( )f yfyfy ()( )fy
7、fy ( )f x为偶函数。 2. 确定参数的取值范围 例 8：奇函 数( )f x在定义域 （-1，1）内递减， 求满足 2 (1)(1)0fmfm的 实数m 的取值范围。 解：由 2 (1)(1)0fmfm得 2 (1)(1)fmfm， ( )f x为函数， 2 (1)(1)fmf m 又( )f x在（ -1 ，1）内递减， 2 2 111 11101 11 m mm mm 2013 年高中数学教学论文含有函数记号 “ f(x) ”有关问题解法 - 4 - / 4 3. 解不定式的有关题目 例 9：如果( )f x= 2 axbxc对任意的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、 的大 小 解：对任意t有(2)2)ftft x=2 为抛物线y= 2 axbxc的对称轴 又其开口向上 f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )f x为增函数 f(3)f(4), f(2)f(1)f(4)
