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1、概率论与数理统计,第一章 随机事件与概率,教材： 高自考指定教材 概率论与数理统计（二） 孙宏祥、柳金甫编 辽宁大学出版社,点数问题：如何分配？,两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 n局就算赢。现在一个人赢了 a（an）局，另一个人赢了b局（bn）。如果赌博提前中断，该如何在两赌徒间分配赌金?,掷骰子问题：对谁有利,玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。,前 言,概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，产生于17
2、世纪中叶。 概率论发展初期，16世纪的意大利学者吉罗拉莫卡尔达诺（Girolamo Cardano）研究了掷骰子等赌博中的一些简单问题。 1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信向帕斯卡（B.Pasal）请教了著名的“点数问题”或“赌金分配问题” 。,帕斯卡和费马（P. d Frmat）在通信中讨论了点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。,随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到
3、这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。,真正使概率论作为一门独立数学分支的莫基人是雅各布伯努利（Jacob Brnoulli）。他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，证明了随着试验次数的增加，某一事件出现的频率会越来越接近该事件的概率。其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。 随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了概率论专著，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，从而将概率论推向一个新的发展阶段。,如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，
4、是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。 苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。 现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中 。,确定性现象（Dtrministic phnomnon ）：在一定条件下必然发生的现象 随机现象（ Random phnomnon ）：是指这样一种现象，我们事先知道所有可能出现的结果，但在相同的条件下其出现结果具有不确定性，而在大量
5、重复试验中其结果又具有统计规律性（ Statistical rgularity）,我们引入概率这一概念来描述这种不确定性 概率（ Probability ）：表示一件事情发生的可能性大小的数值,概率论（ Probability thory ） ：研究随机现象数量规律（如概率、期望、方差等）的一门学科,统计学（ Statistics ）: 收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考的学科,数理统计（ Mathmatical statistics ）：以概率论为工具的统计。它以概率论为基础，研究如何合理收集试验所得的大量数据（样本）并加以分析处理，从
6、而求出总体的统计规律（即数学模型，数据的数量特征与数量关系等），根据这些规律对未来的发展作出预测,第一章 概率论的基本概念,随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率、古典概率 条件概率 独立性,确定性现象与随机现象,自然界所观察到的现象:,确定性现象、,随机现象,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象,“太阳总是从东边升起”,1. 确定性现象,“同性电荷互斥”,“水往低处流”,实例,确定性现象的特征,条件完全决定结果,我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但每次 的结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性的现象。,2. 随机现象,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬
7、币，观 察正反两面出现的情况”。,结果有可能出现正面也可能出现反面。,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”。,实例2 “抛掷一枚骰子，观察出现的点数”。,实例3 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”。,其结果可能为:,正品、次品。,实例4 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”。,其结果可能为: 红、黄、绿。,随机现象是通过随机试验来研究的。,问题 什么是随机试验？,如何来研究随机现象?,1. 试验（xprimnt）：包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（，Random xprimnt）
8、：具有以下三个特征的试验：,（1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,1: 抛一枚硬币， 观察出现正面H和反面T的情况； 2: 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况； 3: 将一枚硬币连抛三次，观察出现正面的次数； 4: 掷一颗骰子，观察出现的点数； 5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； 6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命； 7: 在某班任选一人，记录他的身高和体重。,3. 样本空间（Sampl spac）: 随机试验的所有可能的结果组成的集合。记为 样本点（Sampl
9、, Outcom）：样本空间中的每个元素，即试验的每个可能上网结果。记为 。,X ：给出例1.1的样本空间。,4. 随机事件（事件，vnt）：试验的样本空间S的子集。常用A、B、C等表示。 注意 ：一旦做试验，就会出现一个结果，即有一个样本点出现。 事件A发生（vnt occurrnc）当且仅当A中的一个样本点出现 基本事件（lmntary vnt） 由一个样本点组成的单点集 必然事件（Crtain vnt） 不可能事件 （Impossibl vnt） ,2: 将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；4: 掷一颗骰子，观察出现的点数。,A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT,
10、C=HTT,THT,TTH,D=,F= ,对于试验2 ， A，B，C为以下随机事件 A: 第一次出现正面; B: 三次出现同一面; C: 恰好出现一次正面。 试验4中 D，F为以下随机事件 D: 出现不大于6的点; F: 出现小于1的点。,可见，既可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。 易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,
11、若AB，又BA，则称事件A与B相等，记为A=B。,AB 事件A发生则事件B发生 事件A包含在事件B之中,AB A 则 B 集合A包含在集合B之中,AB A 或 B 集合A与集合B的和或并,AB发生当且仅当 事件A发生或事件B发生 即：事件A或事件B之中至少有一个发生 AB ：事件A与B的和或并,n个事件A1,A2,An的和 C发生就是A1,A2, An中至少一个发生。,可列个事件A1,A2, 的和 C发生就是A1,A2中至少一个发生。,AB A且 B 集合A与集合B的积（可简记为AB）,AB发生当且仅当 事件A发生且事件B发生 事件A与事件B同时发生 AB ：事件A与B的积事件或交,n个事件A
12、1,A2,An的积 C发生就是A1,A2, An同时发生。,可列个事件A1,A2, 的积 C发生就是A1,A2同时发生。,A-B A且B 在集合A但不在集合B之中,A-B发生当且仅当 事件A发生而事件B不发生 A-B ：事件A与B的差事件,若AB=，则称A与B为互不相容事件或互斥事件，也就是说事件A与B不可能同时发生。,A,B,注 基本事件两两互不相容,A,若AB=，AB=，则称A与B互为逆事件，或互为对立事件，也就是说每次试验 A、B中有且只有一个发生。,注 “A与B 互相对立”与“A与B 互斥” 不同,A,A的对立事件记为 A,集合的运算法则都适用,常用的有,交换律,结合律,分配律,对偶律
13、， 德摩根律,运算顺序：逆交并差，括号优先。,例1.2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C表示下列事件：,A1：至少有一人命中目标 A2：恰有一人命中目标 A3：恰有两人命中目标 A4：最多有一人命中目标 A5：三人均命中目标 A6：三人均未命中目标,1.2 频率与概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小，用P(A)表示。,?,P(A)应具有何种性质？,频率（Frquncy）：描述n次试验中事件发生的频繁程度,概率：表征事件在一次试验中发生的可能性大小,定义,在相同的条件下，进行了n次试验。在这n次试验中，事件A发生的
14、次数nA称为事件A发生的频数。nA/n称为事件A发生的频率，记为fn(A)。,频率,具有如下基本性质:,是两两互不相容的事件，则,1.,2.,3.若,某一定数,4.,频率的稳定性,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小。这个性质叫做频率的稳定性。,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率就会非常接近一个值-概率。 因此，概率是可以通过频率来“测量”的，频率是概率的一个近似。,概率,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。即通过规定概率应具备的基本
15、性质来定义概率。 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦。,设是随机试验, 是样本空间。对于的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A), 这个集合函数如果满足下列条件：,那么称P(A)为事件A的概率。,1. 非负性：对每个事件A有,2. 规范性：对必然事件S有,3. 可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容事件,则,概率的定义,概率的性质,1.,2. 若,3. 设,是两两互不相容事件,则有,则有,是两个事件,若,6.（加法公式）对任意两事件A，B有,5. （逆事件的概率） 对任一事件A，有,4. 对任一事件A，,推广到3个事件A，B，C有,等可能概型（古典
16、概型）,若某实验满足 1. 有限性：样本空间1, 2 , , n ; 2. 等可能性：P( 1)=P( 2)=P( n)。 则称为等可能概型也叫古典概型。,一、定义,古典概型的样本空间为1,2 , n ; 若事件A包含k个基本事件（样本点），设为 Ai1, i2 , , ik 。 则有,古典概型中事件概率的计算公式:,由于基本事件互不相容, 及等可能概型中每个基本事件发生的概率相同，则 1=P()=P(12 n) = P(1)+ P(2)+ +P(n)= nP(i) 所以，P(i)=1/n, i=1, 2, , n。 那么，P(A)=P(i1i2 ik) = P(i1)+ P(i2)+ +P(ik) = k/n。,推导,例1.3 将一枚硬币抛掷三次 （1）设A1:
