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1、一个质量为m，总能量为E 的粒子沿x轴运动，势能为V(x)，它与时间无关，则,定态薛定谔方程的应用,定态薛定谔方程为,（1）一维无限深势阱,在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0，则波函数为,当xa时，保守力与势能之间的关系：,当0xa时，薛定谔方程化为,其中,则解为,x=0、a时，波函数应满足连续的条件，则,A0，否则u(x)=0,常数A满足波函数的归一化条件,于是得到定态波函数：,一维无限深势阱中粒子运动的特征,1）能量,能量取分立值(能级)，能量量子化是粒子处于束缚态所具有的性质,2）粒子的最小能量不等于0,如果n=0，则ui(x,t
2、)=0，说明n最小取1,基态能也称为零点能，最小能量,一维无限深势阱中的波函数和概率分布,3）势阱中的波函数和概率密度分布,经典理论：不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。,量子论观点：,粒子概率密度分布不均匀，峰值个数和量子数n相等，当n很大时，分布接近经典分布,4）有限深势阱，粒子出现的概率分布,如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势壁，理论证明，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。,经典理论无法解释，却得到实验的证实。,有限深势阱中的概率分布,（2）一维势垒 隧道效应,一维势垒,定态薛定谔方程化为,势场分布为,在II区，经典理论认为粒子不能进入，但量子力学的结论不同,解方程得,II
3、I区，没有反射粒子，所以B3=0,根据波函数单值、连续的条件得,可求得其它常数,代表由左向右运动的粒子,代表由右向左运动的粒子,势垒中和两侧的波函数,在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其能量更高的势垒的现象，称为隧道效应。,Ultra High Vacuum Low Temperature STM in University of Hamburg,扫描隧道显微镜，简称STM，Scanning Tunneling Microscopy的缩写,STM独特的优点：,1 具有原子级的高分辨率，STM 在样品表面的分辨率分别可达0.1nm 和0.01nm，即可以分辨出单个
4、原子； 2 可得到实空间中样品表面的三维图像，可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究； 3 可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察到表面缺陷，表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等；,4 可在大气、惰性气体、超高真空或液体，包括绝缘的和低温的液体，甚至电解液中工作。工作温度可从绝对零度(-273.150C)到摄氏几百度。样品甚至可浸在水和其他溶液中，不需要特别的制样技术，并且探测过程对样品无损伤。这些特点特别适用于研究生物样品和在不同实验条件下对样品表面的评价； 5
5、配合扫描隧道谱(STS)可以得到有关表面电子结构的信息，例如表面不同层次的态密度、表面电子阱、电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等； 6 利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础。,由单个原子构成的 “IBM”,用STM的针尖将Fe原子一个个地操纵排列成只有几个纳米大小的汉字,用STM搬动48个Fe原子，在Cu的表面排列成直径为14.3nm的圆圈，构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波,美国加州IBM研究实验室的访问学者泽彭菲尔德(P.Zeppenfield)利用STM操纵小分子，将28个一氧化碳分子在铂金的表面上
6、排布成了世界上最小的“分子人”。,电光学领域的基础性工作，并设计了第一架电子显微镜,设计了扫描隧道显微镜,（3）谐振子,量子力学中很多受微小扰动的体系，都可近似看成谐振子系统。,如果谐振子的势能为,定态薛定谔方程化为,其中,谐振子的角频,厄米多项式,解方程得,3） 质点出现的概率密度与经典的结果相差很大，但当n比较大时，两者趋于一致。,2） 最低能态(基态)的总能量为E0=hv/2，大于零。,1） 能级是量子化的，等间隔均匀分布的，间距为hv。,量子谐振子的特点：,解薛定谔方程的步骤： 首先，根据势函数分区建立方程，求出其通解； 然后，根据波函数的标准化条件和归一化条件定出常数； 最后，为了得到符合条件的波函数，在解方程过程中会自然的得出量子化条件和量子化的能量值。,
