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1、,第七节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算,第六章,一、曲顶柱体体积的计算,一、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,同样, 曲顶柱体的底为,记作,二重积分,二次积分,(累次积分),曲顶柱体体积也可按如下计算,在D上连续,积分区域D为,则,D为 Y - 型区域：,过D内部且平行于x轴的直线,与D的边界最多交于两点。,说明:,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,(1) 二重积分要根据积分区域的特点，,来计算。,化为两次
2、积分,(3) 若积分域较复杂,X - 型域或Y - 型域 ,则,(4) 设,如果,分别在 a, b 和 c, d 上可积，,则,在 D上可积，且,可将它分成若干,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,及直线,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便,将D看作Y - 型区域,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:
3、,因此取D 为X - 型域 :,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,因为取D 为Y - 型域,无法计算，,解,积分区域如图,例4.,解,积分区域如图,例5.,解,例6.,P266 31(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(4)(5)；,第二节,作业,1. 二重积分的极坐标形式,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。,用射线，及同心圆分划区域D。,假设从极点O出发的,直线与区域D的边界至多交于两点。,三、利用极坐标计算二重积分,即极坐标下的面积元素为,d,对应有,在,内取点,于是根据二重积分的定义，有,当,被积函数用极坐标变量,表示简单。,考虑用极坐标计算二重积分：,例如：
4、,被积函数含有,x2 +y2 项，,积分区域D为,圆域，环域，扇形区域。,积分区域D 的边界用极坐标表示更方便；,设,则,对,2. 二重积分的极坐标计算,对,若 f 1 则可求得D 的面积,与定积分计算面积一致.,例1 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,解:,问 r, 的变化范围是什么?,(1),(2),(1),(2),例2 已知积分区域D是由,解: 积分域如图,围成，则,在极坐标下的二次积分？,例3 求,其中区域 D 是由,解: 在极坐标系下,原式=,故,围成的。,例4 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.
5、,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,又,解一：,解,解二：,解,例5.,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在有界闭区域D上连续,(1) 域D 关于x 轴对称,二重积分关于对称性的应用,(2) 域D 关于y 轴对称,(3) 域D 关于原点对称,在第一象限部分, 则有,(4) 域D 关于 y=x 对称，则,例. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,P267 32(3)(4)(5)； 33(1)(3)(5)；,第二节,作业,下节课习题课，
6、做课后习题(A)(B); 复习第五、六章内容，5月8日(周3)进行期中考试。,补充：利用二重积分求立体体积,其上下顶面分别是曲面,则该立方体的体积等于,区域D上以曲面,为顶的曲顶柱体积,D,上以曲面,减去区域D,为顶的曲顶柱体积。,即,交线投影,根据二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分,计算立体体积。,如图，空间内一立方体。,D,关键：,分析得到积分区域 D 的表达式,积分区域D是由两个曲面交线,在xOy面上的投影曲线所围成。,曲面交线：,在xOy面上的投影曲线：,例 求曲面,和,所围成的有界体的体积。,解：,两旋转抛物面的交线为,其在xOy面上的投影为,所以在xOy面上积分区域,用极坐标表示为,即xOy面上的圆,例. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,圆的极坐标方程为,曲顶柱体的顶为,例. 求由曲面,所围立体的体积。,解:,圆柱体积V1,立体的体积可以看成是,于是,减去曲顶柱体体积V2,V2的底是区域,V2的顶是,体积也可以直接由,求得。,也可用定积分求旋转体体积。,例 交换积分顺序,解: 积分域如图,
