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1、,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的概念,第八节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,第一章,三、 初等函数的连续性,增量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 函数连续性的概念,对自变量的增量,有函数的增量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,的某邻域内有定义 ,设函数,定义:,在,的某邻域内有定义 ,设函数,若,则称函数,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有
2、理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,基本初等函数在定义域内每点处均连续;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即基本初等函数在定义域内是连续的.,例1,证,由定义知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解,右连续但不左连续 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,既是左连续又是右连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,解：,注:有极限是连续的必要而非充分条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不
3、连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为
4、振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数 y=tanx,在 x =k+/2 (k=0,1,2,)处间断. 且都是第二类间断点.,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 设函数,指出间断点及类型.,解 该函数的间断点为,故,为函数的第一类间断点.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在其定义域内连续,1、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、初等
5、函数的连续性,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,设函数,于是,复合函数,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区
6、间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（在孤立点的邻域内没有定义）,包含在定义域内的区间,注: 初等函数在孤立点处谈不到连续性.,例6,解,注意:初等函数求极限的方法代入法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P72 1- 6,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,例5,解 间断点为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
