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1、3.1 对简谐激励的响应,如图3.1-1所示的二阶线性有阻尼的弹簧-质量系统。这一系统的运动微分方程为,这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分。一是通解x1，二是特解x2，即,在小阻尼情况下，通解x1为衰减振动，称为瞬态振动；特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。,(3.1-1),图 3.1-1,微分方程及解的形式,3.1 对简谐激励的响应,微分方程的求解,式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个待定常数。,将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得,为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下,(3.1-3),(3.1-4),3.1 对简谐
2、激励的响应,微分方程的求解,将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得,该方程对于任意时间t都应恒等于零，有,由此可得,(3.1-5),(3.1-6),3.1 对简谐激励的响应,微分方程的求解,为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下变化形式,(3.1-7),式中 。,(3.1-8),得特解为,这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。,(3.1-9),3.1 对简谐激励的响应,可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：,(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。,(2) 强迫振动的振幅X
3、和相位差都只决定于系统本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。,(3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。,3.1 对简谐激励的响应,关于解的讨论,可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式,(3.1-10),(3.1-11),引入符号：,3.1 对简谐激励的响应,关于解的讨论幅频特性曲线,放大因子与频率比的关系：,当频率比1时，放大因子接近于1，即振幅X几乎与激励幅值引起的静变形X0差不多。,当频率比1时，趋于零，振幅可能非常小。,当激励频率与振动系
4、统频率很接近时，即1时，定义为共振，强迫振动的振幅可能很大，比X0大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。,图 3.1-2,3.1 对简谐激励的响应,关于解的讨论共振,由式(3.1-10)可见，在=1时，有,实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n处，而发生在,(3.1-12),(3.1-13),(3.1-14),将式(3.1-10)对(或)进行微分，令结果等于零,即,3.1 对简谐激励的响应,关于解的讨论共振,据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）,(3.1-15),(3.1-16),有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。,3.1 对简谐激励
5、的响应,关于解的讨论相频频特性曲线,相位差与频率比的关系：,在1的低频范围内，相位差0，即响应与激励接近于同相位。,在1时，相位差，即在高频范围内，响应与激励接近于反相位。,在=1，即共振时，相位差/2，这时与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。,图 3.1-3,3.1 对简谐激励的响应,关于解的讨论共振时的响应,再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振)时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有,根据微分方程理论可知：当=n时，微分方程(3.1-17)的特解为,(3.1-17),(3.1-18),这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限地增大，如图3.1-4所示。,
6、图 3.1-4,3.1 对简谐激励的响应,例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1),共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通常取0.751.25的区间为共振区，在共振区内振动都很强烈，会导致机器或结构的过大变形而造成破坏，但同样可以利用振动为人类服务。,例3.1-1 在一弹簧-质量系统上作用一简谐力 ，如图3.1-5所示。初始瞬时x(0)=x0， ，试求系统的响应。,解：系统的振动微分方程为,其解为,式中A1和A2是由初始条件确定的常数。,图 3.1-5,3.1 对简谐激励的响应,例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1),代入初始条件x(0)=x0， ，得,把A1和A2值代入解中，
7、得,当t=0时，x0= =0，上式简化为,3.1 对简谐激励的响应,例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1),在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动，如图3.1-6所示。,强迫振动的初始阶段的解由三部分组成：,第一项是初始条件产生的自由振动；,第二项是简谐激励产生的强迫振动；,第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，自由振动将不断的衰减。,图 3.1-6,3.1 对简谐激励的响应,例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2）,例3.1-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.1-6所示的不平衡转
8、子激发的振动。两个偏心质量m/2以角速度按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的偏心矩为e，机器总质量为M，求系统的响应。,解：系统的振动微分方程为,上式可以写成,3.1 对简谐激励的响应,例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2）,设响应为,根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为,式中 ，而 。根据方程（3.1-8）的稳态响应的相位角,同样响应的幅值也可以变换为,3.1 对简谐激励的响应,例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2）,因而，在这种情况下，无量纲比为,用幅频响应曲线表示如图3.1-7所示,在低频1时，则MX/me趋近于1
9、，即Xme/M，而不趋向于零。,3.1 对简谐激励的响应,例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3）,解：取铅垂坐标轴x与y，分别以物体与支承静止时的平衡位置为原点，向上为正。其运动微分方程为,或者改写成为,3.1 对简谐激励的响应,例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3）,设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x表示为,把上面的式子代入振动微分方程得,为了便于比较，把上式右端项改写为,3.1 对简谐激励的响应,例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3）,代回整理得,这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以sin（t-）和cos（t-）前面括号内的量都必须分别等于零，有,因此,3.1 对简谐激励的响应,例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3）,以为横坐标，X/Y为纵坐标，可以作出不同阻尼系数情况下的幅频响应曲线，如图3.1-9所示。它与简谐激振力F0sint作用下的响应曲线基本相同。,只是在频率比= 处，不论相对阻尼系数等于多少，振幅X都等于支承运动振幅Y。而当 时，振幅X就小于支承运动振幅Y，而且阻尼大的系统比阻尼小的振幅反而要稍大些。,
