《高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.3 两角和与差的正切函数课件2 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.3 两角和与差的正切函数课件2 北师大版必修4（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3 两角和与差的正切函数,【知识提炼】 两角和与差的正切公式,sincos-cossin,coscos+sinsin,sincos+cossin,coscos-sinsin,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)两角和与差的正切公式中角的取值范围是什么? 提示:公式T中,都是实数且不能等于 +k,kZ. (2)T的变形公式是指的什么? 提示:tantan=tan()(1tantan),2.tan(-165)的值是() A.2+ B.2- C.-2+ D.-2- 【解析】选B.原式=tan(-180+15) =tan15=tan(45-30),3.若tan=3,tan= ,则tan(-
2、)等于() A.-3 B.- C.3 D. 【解析】选D.tan(-)=,4.若 =_. 【解析】 答案:3,5. =_. 【解析】原式=tan(78-18)=tan60= . 答案:,【知识探究】 知识点 正切的和、差角公式T 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:公式T应用的条件是什么? 问题2:公式T的特点是什么?,【总结提升】 1.公式成立的条件 角,以及均不能等于k+ (kZ),且tantan1(或 tantan-1). 2.结构特征 公式T的右侧为分式形式,其中分子为tan与tan的和或差,分 母为1与tantan的差或和.,3.符号规律:分子同,分母反.,【题型探究】 类型一
3、 利用T求值 【典例】1.已知 =_. 2.已知tan,tan是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,ac)的两个根,则tan(+)的值为_.,【解题探究】1.典例1中cos的值是什么? 提示:由 2.典例2中与一元二次方程的两根满足的性质有什么联系? 提示:先建立一元二次方程的根与系数的联系,整体代入计算和角的正切.,【解析】1.因为 所以 所以 答案:,2.由a0和一元二次方程根与系数的关系, 得 又ac,所以tan(+)= 答案:,【方法技巧】 1.从三个角度入手直接利用公式T求值 (1)复角化单角:公式 反映了复角化单角的思想,即要求的正切函数值,只需知道tan和tan的值,代入求解
4、便可. (2)整体意识:公式T中有两个小团体“tantan”及“tantan”,求解时可利用整体思想代入求解.,(3)角的配凑:公式T中,只代表了角的某一形式,其可能是单 纯的,也可能是某些小团体,如等式 中 相当于, 相当于.,2.逆用公式的技巧 在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用:公式的 逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现 这些特殊 角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题 的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而 达到化简的目的.,【变式训练】(2015江苏高考)已知tan=-2, 则tan 的值为_. 【解题指南】将
5、化为=(+)-,利用两角差的正切公式求解.,【解析】tan=tan(+)-= 因为tan=-2,tan(+)= ,所以上式= 答案:3,【补偿训练】已知 tan(+)的值. 【解题指南】依题目特征,可以先求出,的异名三角函数值,代入所求式子的展开式中便可求解.,【解析】因为 所以 因为 所以,类型二 利用公式T求角 【典例】1.若锐角,满足(1+ tan)(1+ tan)=4,则+=_. 2.已知tan(-)= ,tan=- , ,(0,),求2-的值.,【解题探究】1.典例1中去括号、移项整理后会得到什么样的式子? 提示:去括号、移项、合并同类项可得 (tan+tan)=3(1-tantan
6、). 2.典例2中已知角与所求角有什么关系? 提示:2-=(-)+,其中=(-)+.,【解析】1.因为(1+ tan)(1+ tan)=1+ tan+ tan +3tantan=4, 所以 (tan+tan)=3(1-tantan), 即tan+tan= (1-tantan) 所以tan(+)= 又,均为锐角,所以0+,所以+= . 答案:,2.因为tan=- ,tan(-)= , 所以tan=tan(-)+= tan(2-)=tan(-)+= 因为,所以 所以-(-,0). 又tan(-)= 0,所以- 2-=+(-)(-,0). 而tan(2-)=1,所以2-=- .,【延伸探究】 1.(
7、变换条件)典例2中若将题设条件“tan=- ”改为“ =2 ”,则结果是什么?,【解析】由 得tan=-3, 所以tan(2-)=tan+(-) 因为tan=-30,tan=- 0, 所以, 故 因此由tan(2-)=-1得2-= .,2.(变换条件)若将典例2中条件“tan=- ”改为“tan= ” 其他条件不变,则等于多少? 【解析】因为tan=tan(-+) 又(0,),所以= .,【方法技巧】利用公式T求角的步骤 (1)求值.计算待求角的正切函数值. (2)求范围.借助已知角的范围及题目隐含信息,求相关角的范围,注意角的范围越小越好. (3)求角.借助角的范围及角的三角函数值求角.,【
8、补偿训练】在ABC中,tanA+tanB+ = tanAtanB,则角C等于 () 【解析】选A.由题意tanA+tanB=- (1-tanAtanB), 故tan(A+B)= 又A+B+C=, 所以,类型三 公式的变形应用 【典例】1. =_. 2.已知+= ,则(1+tan)(1+tan)=_.,【解题探究】1.典例1中 可以表示为哪一个角的三角函数值? 提示:根据式子的特点,本题中可将 表示为tan60较合适. 2.典例2中对角+取哪一个三角函数值合适? 提示:tan(+)=tan =1.,【解析】1. =tan45=1. 答案:1 2.因为+= ,所以tan(+)=1,即 所以tan+
9、tan=1-tantan. 所以(1+tan)(1+tan)=(tan+tan)+1+tantan=2. 答案:2,【延伸探究】利用典例2的结论,求(1+tan1)(1+tan2)(1+ tan3)(1+tan 45)的值. 【解析】由例2解析知当+=45时,(1+tan)(1+tan)=2. 所以原式=(1+tan1)(1+tan44)(1+tan2)(1+tan43)(1 +tan22)(1+tan23)(1+tan45)=2222=223.,【方法技巧】公式T的变形应用的方法 对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用是恒等变换的基本要 求,数学的特点是“多想点就少算点”,因此注意观察式
10、子的结构特点 并注意特殊值的代换、角的变换等技巧可使运算简捷.例如,“1= tan45, =tan60”等.,【变式训练】求值:tan10+tan50+ tan10tan50. 【解题指南】注意到10+50=60,而tan60= . 故联想到tan(10+50)的展开形式并变形即可求出.,【解析】因为tan(10+50)= 所以tan10+tan50= - tan10tan50. 所以原式= .,【补偿训练】已知 【解析】,规范解答 两角和与差的正切公式的综合应用 【典例】(12分)(2015宝鸡高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆交于A,B 两点.已知A,B的横坐标分别为 (1)求tan(+)的值. (2)求+2的值.,【审题指导】要求tan(+),根据已知条件先求cos,cos,再求tan,tan,进而求tan(+). 由tan(+2)=tan(+)+求出+2的正切,再根据+2的范围求+2.,【规范解答】(1)由已知条件及三角函数的定义可知,【题后悟道】 1.确定角的范围 由于角的范围会直接影响三角函数方程解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素. 2.注意挖掘隐含条件 在确定所求角的范围时除了考虑给定的角的范围外,还要从给定的三角函数值上进一步缩小角的范围,防止出现增根.,
