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1、1,无穷小(infinitely small),无穷大(infinitely great),小结 思考题 作业,无穷小与无穷大的关系,2.4 无穷小量与无穷大量,第二章 极限理论,2,拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.,牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.,的理论称为“无穷小量分析”.,常常把整个变量,欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论.,即所谓无穷小量.,都可以转化为一种简单而重,要的变量,数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比,3,1. 定义,极限为零的变量称为,无穷小量,简称,如,无穷小是指,函数变化的趋势.,无
2、穷小.,一、无穷小,在某个过程中,5,2. 无穷小与函数极限的关系,定理1,6,例,例 已知,求 的值 .,7,在同一过程中, 有限个无穷小的代数和,证,定理2,仍是无穷小.,3. 无穷小的运算性质,取,恒有,恒有,恒有,的两个无穷小,8,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,不是无穷小.,9,定理,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,例如,10,在同一过程中,有极限的变量与无穷小,常数与无穷小的乘积是无穷小;,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,推论,的乘积是无穷小;,推论,推论,例如,11,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为,无穷大.,如,是无穷大;,是无穷大.,12,定义2,记作,特殊情形:
3、,正无穷大,负无穷大,13,(1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷大一定是无界函数,(3) 无穷大与无界函数的区别:,它们是两个不同的概念.,未必是某个过程的无穷大.,但是无界函数,14,不是无穷大,无界，,15,证,例,的图形的,铅直渐近线(vertical asymptote).,铅直渐近线,16,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,证,定理,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系,此时对,使得当,17,关于无穷大的讨论,意义,无穷小的讨论.,都可归结为关于,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,定理,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,此时对,使得当,18,
4、 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;, 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;, 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之 积仍为无穷大;, 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.,容易证明,例,解,19,例,设在某一变化过程中， 则必有,20,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小量的阶,21,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,返回,23,无穷小的概念;,无穷小的运算;,无穷小与函数极限的关系;,无穷大的概念;,无穷小与无穷大的关系.,四、小结,定理1,定理2,24,思考题,1993年考研数学三, 3分,A. 无穷小量,B.无穷大量,C. 有界量非无穷小量,D.无界但非无穷大量,D,
