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1、第四节 空间曲线及其方程,上的任一点的坐标都满足这两个方程,即满足方程组,一.空间曲线的一般方程,空间曲线可以看作是两个曲面的交线,设F(x,y,z)=0和,G(x,y,z)=0是两个曲面的方程. 它们的交线为C,则曲线C,方程组(1)来表示.方程组(1)就叫做空间曲线C的一般方程.,反之,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在这两个,曲面上,它的坐标就不满足方程组(1).因此曲线C可以用,例5 方程组表示怎样的曲线?,与平面的交线.,解: 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面.其,准线是xoy平面上的圆,圆心在坐标原点,半径为1.方程组,中的第二个方程表示一个平面,它在x轴,y轴和
2、z轴上的截距,依次为3,2,2.如(3,0,0),(0, 2,0),(0,0,2)方程组表示上述圆柱面,的。例如方程组,这个圆的圆心在点(a/2,0),半径为a/2.方程组表示上述半球面,与圆柱面的交线.，因为通过空间曲线C的曲面有无限多个,我们只要任意取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组,都是表示空间曲线C的方程,所以空间曲线的方程不是唯一,分析: 设空间动点为M(x,y,z),有,点M到平面x=3的距离为|x-3|,根据题意,我们有,例7 一动点与点p(1,2,3)的距离是它到平面x=3的距离的, 求动点的轨迹方程,并求该轨迹曲面与yoz平面,的交线.,轨迹方程求得,它是一个椭球曲面
3、,其中心在点(0,2,3),三个,与yoz平面的交线为圆,半轴成分别为,二. 空间曲线的参数方程,点.方程组叫做空间曲线的参数方程.变量t叫做参数.,在xoy平面上的平面曲线C可用F(x,y)=0.及参数方程表示.,类似地空间曲线可用参数方程表示.,一般用x=x(t),y=y(t),z=z(t).表示一空间曲线.确定t,就得到,空间的一点(x1,y1,z1),随着t的变动可得到曲线C上的全部,由于动点以角速度绕z轴旋转,所以AoM=t,例1 设空间一点M在圆柱面,同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v,都是常数),试建立点M的轨迹的参数方程.,解:坐标系如图,以时间t为参数.设当t=
4、0时, 动点在A(a,0,0),点,经过时间t,动点由A点运动到M(x,y,z)点.M点在xoy平面,上的投影M一定在圆柱面的准线上,它的坐标为(x,y, 0).,上以角速度绕z轴旋转,此曲线称为螺线,由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以,z=vt.因此,曲线的参数方程为,x=acost,y=asint,z=vt.,三. 空间曲线在坐标面上的投影,这一部分介绍投影知识在多元积分积分区域中用.,1,投影柱面与投影 给定空间曲线C:,2. 投影柱面与投影的求法: 设空间曲线C:,定义:以C为准线,母线平行于z轴的柱面,叫做C关于xoy的,投影柱面,该投影柱面与xoy面的交线称为C在
5、xoy面的投影,曲线,同理可定义C对其它各坐标面的投影柱面及投影.,平行于轴的柱面.,的投影 (曲线),即投影,其方程为:,由该方程组消去z,得到方程 H(x,y)=0 (2) 这是一个母线,当(x0,y0,z0)满足方程组(1)时,按同样的消元过程得到,H(x0,y0)=0.它必满足方程(2). 即C上所有的点都在方程(2),所表示的柱面上.即该柱面包含曲线C.因此也包含C的投影,柱面.在一般的情况下,它就是C关于xoy面的投影柱面.,投影柱面H(x,y)=0与xoy平面的交线,叫做曲线在xoy平面上,曲线C在yoz平面上的投影曲线方程为:,曲线C在yoz平面上的投影曲线方程为:,同理由(1
6、)消去x,或y得到柱面R(y,z)=0及T(x,z)=0分别包含,C关于yoz平面及xoz平面上的投影柱面.,而方程R(y,z)=0,x=0.和T(x,z)=0,y=0必包含C关于yoz平面,和xoz平面的投影.一般它们就是C在这两个平面上的投影.,求它们的交线C在xoy平面上的投影方程.,例1 已知两球面的方程为,解:,其在称为椭圆柱面, xoy平面的投影,为椭圆,加上z=0即可.,例2 设有一立体,由上半球面,类似,我们也可以求空间立体在坐标面上的投影(立体是,曲面所围成的).求得曲面交线的投影也就可以确定立体,在坐标面上的投影.,求立体在坐标面上的投影是今后研究重积分所必需的基础.,它的求法是:如果求xoy平面的投影,在方程式中把z消去,再,及锥面,围成,从上面两个方程中消去z就可以得到,为投影柱面,(2)求曲线在xoy平面上的投影曲线为,(3)求所求立体在xoy平面上的投影: 其投影为圆:,在xoy平面上的所围的部分:,求其在xoy平面上的投影.,
