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1、7.6 多元函数微分学的几何应用,7.6.1 空间曲线的切线与法平面,7.6.2 曲面的切平面与法线,7.6.1 空间曲线的切线与法平面,切线为割线的极限位置,设空间曲线的方程,设(1)式中的三个函数均可导.,1. 空间曲线的方程为参数方程,随着t的变动，描绘出空间一条曲线,上式分母同除以,割线 的方程为,解,切线方程,例,法平面方程,即,设曲线方程为,法平面方程为,2. 空间曲线的方程为两个柱面的交线,则曲线可看成参数方程：,在M(x0, y0, z0)处,切线方程为,x为参数,例 在抛物柱面 与 的交线上, 求对应 的点处的切向量.,x为参数,于是,解,所以交线上与,对应点的切向量为:,交
2、线的参数方程为,取,设空间曲线方程为,3.空间曲线的方程为两个曲面的交线,确定了隐函数,两边分别对,x求导:,则曲线依然可看成参数方程：,x为参数,同(2)一样可写出切线方程和法平面方程,解,例,切线方程和法平面方程.,2个方程3个变量，,曲线可看作参数方程,所给方程的两边对x求导,确定了2个1元函数：,切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,7.7.2 曲面的切平面与法线,定义,过M点与切平面垂直的直线,曲面上一点M，,若曲面上所有过M点的曲线在M点的切线,都在同一个平面上，,则称此平面为在,M点的切平面,称为在M点的法线,今在曲面上任取一条,1.设曲面的方程为,的情形,函数,的偏导数
3、在该点连续且不同时为0,点M 对应于参数,不全为零.,过点M 的曲线,设其参数方程为,由于曲线在曲面上,在恒等式两端对t 求全导数,并令,则得,记向量,曲线在点M处切线的方向向量记为,则*式可改写成,即向量,垂直.,*,则,设平面过M点，以,为法向量,所以平面是曲面在M点的切平面,在M(x0, y0 , z0)处的法向量:,切平面方程为,法线方程为,所以曲面上在点M的,曲面方程,解,令,例,曲面方程,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,例,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足曲面方程,切平面方程,或,2. 曲面方程形为 的情形,
4、曲面在M处的切平面方程为,法线方程,令,曲面方程,解,切平面方程为,法线方程为,例,法向量,解,设切点,也是已知平面的法向量,切点满足曲面和平面方程,练习,例,解:,将参数方程两边对x求导,同理可得,曲面在M处的切平面方程,全微分的几何意义,表示,切平面上的点的z坐标的增量.,设曲面方程为,切平面上点的竖坐标的增量,法向量,表示法向量的方向角,表示法向量的方向向上,或说法向量与z 轴的正向夹角 是锐角,则法向量的方向余弦为,法向量的方向余弦,设曲面方程为,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小结,作业 P42 2, 3， 4，6，7,1.设曲线,练习,证,因原点,即,于是,证明此曲线必在以原点为,的法平面都过原点,在任一点,中心的某球面上.,曲线过该点的法平面方程为,故有,在法平面上,任取曲线上一点,2.,证,过直线L的平面束方程为,即,其法向量为,求过直线L,且与曲面,相切之切平面方程.,设曲面与切平面的切点为,则,过直线L的平面束方程其法向量为,因而,故,所求切平面方程为,或,即,或,
