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1、1,主 讲：谭宁 副教授 办公室：东校区中1楼2103 E-mail:,理论力学,2,动力学普遍定理综合应用,动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。,1
2、3.动能定理,求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。,3,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较, 动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。,整体运动的变化,所受的作用力,动 量 定 理,动 能 定 理,动量矩定理,动 量,力(冲量),动量矩,力 矩,动 能,力 的 功, 动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,4,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较, 动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。, 动能定理可以用于研究机械运动与其他
3、运动形式之间的运动转化问题。, 动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。, 动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程 。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,5,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较, 动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。, 动能定理的表达式中含有路程参数。, 动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零), 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质
4、点系) ；对于理想约束，则只包含主动力。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,6, 明确研究对象,系统(整体)还是部分 受力分析-守恒 运动分析-运动关系 定理的选取 动能定理-突破口(整体),适宜理想约束,一个自由度,主要求解运动量. 质心运动定理-求力,适宜刚体任何运动形式. 动量矩定理-求力,适宜刚体转动和平面运动.,动力学综合问题求解技巧,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,7,物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。,动力学普遍定
5、理综合应用,13.动能定理,例一,8,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,9,由质点系动量定理得,联立解之得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,10,重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,例二,11,（2）用动能定理求速度。 取系统为研究对象。初始时T1=0 ， 最低位置时：,代入数据，得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,12,（3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。,盘质心加速度：,
6、杆质心C的加速度：,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,13,（4）由质心运动定理求支座反力。 以整个系统为研究对象,代入数据，得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,14,本题应用了相对质心动量矩守恒定理、动能定理、动量矩定理、质心运动定理，比较复杂，请大家仔细分析求解过程中所应用的定理。,可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,15,解：取杆为研究对象,均质杆OA，重P，长l，如图所示。当绳子突然剪断的瞬时，求杆的角加速度及轴承O处的约束反力。,由动量矩定理：,例三,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,
7、16,由质心运动定理：,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,17,题：均质细杆长为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,例四,18,解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度，如图所示，p为杆的速度瞬心。由运动学知，杆的角速度与质心C 的速度之间关系为：,任意位置杆的动能为,初始动能为零,vC,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,19,由动能定理,即,此过程中只有重力作功,解出,思考: 倒地瞬时A点的速度?,当杆完全倒地此时,动力学普遍定理
8、综合应用,13.动能定理,20,即,杆刚达到地面瞬时，由刚体平面运动微分方程，得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,21,加速度矢量如图所示。,点A的加速度为水平，由质心运动水平守恒知， 应为铅垂，由运动学知,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,沿铅垂方向投影，得,22,代入动力学方程，解得,本题难点是什么？,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,23,例五,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,已知：一圆环以角速度0 绕铅垂轴O1O2自由转动，圆环的半径为R ，对转轴的转动惯量为J ，在圆环内的A点放一质量为m 的小球，圆环内光滑，由于微小干扰，小球离开A 点。,求:当小球分别
9、到达B 点和C 点 时，圆环的角速度和小球的 速度。,24,即,解得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,25,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,26,说明：本例应用了“动量矩守恒定律”和“系统动能定理”使问题 得到全部解决。请注意动量矩的计算与动能的计算。,（3）小球从AC：总功：W2mgR,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,27,例六,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,已知：匀质杆长30（cm）,重98（N）, 弹簧的刚性系数为4.9(N/m), 原长为20(cm)。开始时杆置于水平位置， 然后将其无初速释放。 由于弹簧作用，杆绕O 轴转动，OO140（cm）。,求：
10、 当杆转到铅垂位置时杆的 角速度和轴承O 处的反力。,28,解：取研究对象：杆OA受力分析如图：（1） 求杆在铅垂位置的角速度,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,29,总功为：,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,30,因此可得 ：,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,31,再应用质心运动定理，有:,其中弹簧力：,可解出,（在 x、y 轴方向投影）,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,32,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩
11、为M的常力偶作用时，求杆的角加速度及轮II边缘所受切向力F。,例七,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,例七,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,33,1. 求杆的角加速度,运动学条件,主动力系的元功为,由动能定理得,解:,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,34,2. 求轮II边缘所受切向力F,取轮II为研究对象，画受力图。,由对质心的动量矩定理得,因为轮II作纯滚动，故有,B,r2,FBy,FBx,F,FN,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,35,质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度a。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,例八,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,例八,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,36,解：(1)用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动， 圆柱体作平面运动。 设任一瞬时，杆的速度为v， 则圆柱体质心速度为v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,两边除以，并求导数，得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,37,(2) 用动量矩定理求解 取系统为研究对象,根据动量矩定理：，得,动力学普遍定理综合应用,13.动能定理,o,o,
