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1、第6章 IIR数字滤波器的设计,主要内容,数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,经 典 滤 波 器,现 代 滤 波 器,6.1数字滤波器的基本概念,经典滤波器：输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带，通过选频滤波器达到滤波的目的。 现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。,无限脉冲响应（IIR）滤波器,有限脉冲响应（FIR）滤波器,存在输出对输入的反馈支路, 其单位脉冲h(n)是无限长,不存在输出对
2、输入的反馈支路, 其单位脉冲h(n)是有限长,从网络结构上面分类,从功能上面分类,让低频信号通过,让高频信号通过,让全部信号通过,让某个特定频带信号通过,不让某个特定频带信号通过,选频滤波器,线性相位数字滤波器,DF的技术要求,|H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。 Q()系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,通带中允许的最大衰减：,阻带中允许的最小衰减：,对单调下降幅频特性，通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，p和s分别定义为： 如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成 当幅度衰减到2/2倍时，所对应频率c，此时P3d
3、B，称c为3dB截止频率。,6.1 数字滤波器的基本概念,IIR滤波器设计方法： 先设计模拟滤波器(AF)的传输函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计 FIR滤波器设计方法: 经常采用的是窗函数设计法和频率采样法， 用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。,数字滤波器设计方法,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器
4、都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,6.2 模拟滤波器的设计,各种理想模拟滤波器的幅度特性,(1)模拟低通滤波器的设计指标有：p、s、p、s 其中：p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率 p是通带(=0p)中的最大衰减系数， s是阻带s的最小衰减系数，,6.2.1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,|Ha(j0)|2,|Ha(j0)|2,如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1,图中c称为3dB截止频率，因,(2)用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤： 给出模拟滤波器的技术指标； 设计传输函数H
5、a(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as，|Ha(j)|2=Ha(j)Ha*(j)=Ha(s)Ha(-s)|s=j 确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S左半平面内。,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2,c，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，过渡带越窄。,=0，|H(j)|=1； =c，|H(j)|= c是3dB截止频率。,N: 滤波器阶数。,6.2.2 Butterworth低通滤波器,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,其中，k=0,1,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半
6、径为c的圆上，间隔是/N rad，左半平面N个点构成Ha(s)传输函数，右半平面N个点构成Ha(-s)传输函数。,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为：,只要知道滤波器的阶数N，可得归一化的传输函数，去归一化p=j=s/c ,可得到实际的传输函数Ha(s),令s/c=j/c，=/c，称为归一化频率，令p=j，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：,归一化极点pk=ej(+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。,巴特沃斯滤波器的设计步骤,(1) 根据给出的技术指标P、S、p、S，求滤波器阶数N,N取值
7、N,(2) 求归一化极点pk，确定归一化传输函数Ha(p) 根据求极点公式： pk=ej (+(2k+1)/2N)， k=0,1,N-1。再代入： 或根据阶数N，查表P157表6.2.1得到极点和归一化传输函数,阻带指标有富裕度,通带指标有富裕度,(3)求3dB截止频率c 由:|H(j)|2=1/1+(/c)2N =p时：,(4)将Ha(p)去归一化，得到实际的滤波器传输函数Ha(s) 将p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/c。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带
8、最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解：(1) 设计模拟滤波器的指标为 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.4104(rad/s)， as=30dB (2) 确定滤波器的阶数N,取N为5,(3) 求极点,代入归一化传输函数公式,直接查表法,N=5,直接查表,极点形式：,分母多项式的形式：,分母因式的形式：,(4) 将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c,b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361,(5) 将p=s/c代入Ha(p)中得到：,利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计
9、过程：,6.3 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,设计技术成熟有相当简便的公式和图表,模拟滤波器,AF,由此设计,数字滤波器,DF,要求DF特性 模仿AF的特性,实际上是个映射问题 Mapping,离散时间域(Z平面),转换关系,连续时间域(S平面),转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。,满足上述转换关系的映射方法有： 脉冲响应不变法 双线性变换法,使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于h
10、a(t)的采样值,6.3.1 脉冲响应不变法的基本思想,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t) 时域采样h(n)ZTh(n)H(z),脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法。,6.3.2 变换方法,(1) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,si为Ha(s)的单阶极点,u(t)为单位阶跃函数,拉氏变换和逆拉氏变换,拉氏变换,逆拉氏变换,逆拉氏变换的性质,对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 结论: (1) S平面的单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。
11、(2) Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同,(2) Ha(s)有共轭复数对极点 Ha(s)的极点si一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。基本节有两种形式。,极点-1j1,进行Z变换,对ha(t)进行等间隔采样,AF二阶基本节形式一,极点-1j1,进行Z变换,对ha(t)进行等间隔采样,AF二阶基本节形式二,(3)S平面和Z平面之间的映射关系,1.拉氏变换与Z变换之间的映射关系： 设ha(t)的采样信号表示为: (2) 对 进行拉氏变换，得到,上式表明了理想采样信号的拉氏变换与相 应的序列h(n)的Z变换之间的映射关系。,频率域
12、的坐标变换是线性的,0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1) 以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。,因果稳定的分析,当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外 j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周,z=esT是周期函数,由上面分析结果： S平面与Z平面的映射关系满足转换条件； 但存在着多值(s)单值(z)映射关系。,DF和AF频响特性之间的关系,结论： 是 以2/T为周期的周期
13、延拓函数。如果ha(t)频带不是限于 ，则会在 附近产生频谱混叠，对应数字频率在 产生频谱混叠,说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时 Ha(s)沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓； 再经过z=esT的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z)。,由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：,(3)DF的频响是AF频响的周期延拓,频率混叠,注意：,只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。,(2)采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。,只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的
14、设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。,假设 没有频率混叠现象，即满足：,将关系式s=j代入，=T，代入得到：,数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响,脉冲响应不变法的应用,优点： 频率变换是线性关系；=T，数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性； 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好； 缺点： 有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系) 由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真，但运算量,实现困难),脉冲响应不变法的优缺点,例已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z) 解：首先将Ha
15、(s)写成部分分式： 极点为： 根据： ，H(z)的极点为：,按照： ，经过整理，得到 T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则：,将Ha(j)、H1(ejw)、H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线,脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。 原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在=形成频谱混叠现象。 解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，而后再用z=esT转换到Z平面上。,6.4 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,6.4.1双线性变换法消除频谱混迭的原理,双线性变换法用正切变换实现非
16、线性频率压缩，设Ha(s)，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=j1 表示。则：,T：时域采样间隔,(1) 非线性压缩：(S平面S1平面映射),由上面可得：(-，+)，1(-/T，+/T),推出,(2) S1平面到Z平面的映射 将S1平面映射到Z平面上，用标准映射z=es1T。代入上式,映射过程：从s平面映射到s1平面，再从s1平面映射到z平面。 S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。 只要模拟滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于S左半平面，转换成的H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。,(3)双线性不变法的映射关系,2/T tan(1T),S 2/T th(S1T),6.4.2模拟频率和数字频率之间的关系,将：z=ej，s=j，代入SZ平面映射关系式：,说明：s平面上与z平面的成非线性正切关系
