《16、2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题五 第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《16、2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题五 第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题 Word版含答案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题做真题(2019高考全国卷节选)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.明考情圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖定值问题1直接消参求定值：常见定值问题的处理
2、方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数案例关键步(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值(1)略(2)BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为yx2(x).由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(，
3、)，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.2从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算案例关键步(2015高考四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由(1)略(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.
4、关键1：分类讨论，证明当AB的斜率不存在时为定值当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.关键2：当直线AB的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，用参数从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.关键3：构造关于k，的表达式，得到当1时的值此时，3为定值故存在常数1，使得为定值3.典型例题 (2019贵阳市第一学期检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M
5、为短轴的上端点，0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，证明：k1k2为定值【解】(1)由0，得bc，因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|，所以，.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：由椭圆C的方程y21与点(2，1)，设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，将ykx2k1代入y21中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题意知16k(k2)0，得2kb0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1
6、，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点(1)略(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.关键2：设出直线l的方程并与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系当且仅当m1时，0，于是l：yx
7、m，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)关键3：将k与m的关系再回代变形，得到直线过定点典型例题 (2019安徽省考试试题)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2y2相切于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且0，求证：直线l过定点【解】(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2，则直线PQ的斜率kPQ，所以直线PQ的方程为y(x)，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxn(n1
8、)，联立，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，满足.此时l的方程为ykx，故直线l过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点
9、与变量无关提醒(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可如直线ykxb，若b为常量，则直线恒过点(0，b)；若为常量，则直线恒过点. (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x，y)f2(x，y)0(为参数)解方程组即得定点坐标对点训练(2019开封市定位考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解：(1)由题意得a21，所以a，又bc，a2b2c2，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)得M(0，1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01，此时直线AB的方程为x1；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由，可得(12k2)x24kmx2m220，则8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.
