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1、学 海 无 涯八年级数学下册知识点总结第十六章 二次根式1. 二次根式:式子(0)叫做二次根式。2. 二次根式有意义的条件: 大于或等于0。3. 二次根式的双重非负性:, 附:具有非负性的式子:;4.最简二次根式:必须同时满足下列条件:被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; 被开方数中不含分母; 分母中不含根式。5.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。(0)(0)0 (=0);6.二次根式的性质:(1)()2= (0); (2)7.二次根式的运算: (1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式(2)二次根式的乘除法:
2、二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=(a0,b0); (b0,a0)(3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1),其中是二次根式的是_(填序号)例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ; (2) 例3、 在根式1) ,最简二次根式是( )A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例4、已知: 例5、 (2009龙岩)已知数a,b,若=ba,则 ( )A. ab B. a0,b0时,则:; 例8、
3、比较与的大小。 5、规律性问题例1. 观察下列各式及其验证过程:, 验证:; 验证:. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想的变形结果,并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.第十七章 勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为,b,斜边长为c,那么。应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在中,则,)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。2. 勾股定理逆定理:如果三角形三边长,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。 应用: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种
4、重要方法。(定理中,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,满足,那么以,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边)3、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,为正整数时,称,为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如ka,kb,kc4.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:C=90A+B=90 (2)在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 BC=AB C=90 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
5、半 ACB=90 CD=AB=BD=AD D为AB的中点5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 6、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90 CDAB 7、常用关系式由三角形面积公式可得:ABCD=ACBC8、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的
6、三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。9、命题、定理、证明 1、命题的概念判断一件事情的语句,叫做命题。理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题)命题 假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤(
7、1)根据题意,画出图形。(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。10、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。(2)要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角
8、形。结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。11、数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首尾括号带平方,尾项符号随中央。第十八章 平行四边形一平行四边形1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形2平行四边形的性质 角:平行四边形的邻角互补,对角相等; 边:平行四边形两组对边分别平行且相等; 对角线:平行四边形的对角线互相
9、平分; 面积:S=底高=ah;3平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 一组平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;2、 特殊的平行四边形(1) 矩形1、 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形2、 矩形的性质 边:对边平行且相等;角:对角相等、邻角互补;对角线:对角线互相平分且相等;3、矩形的判定:四边形ABCD是矩形.(2) 菱形1、 定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2、 菱形的性质:边:四条边都相等;角:对角相等、邻角互补;对角线:对角线互相垂直平分
10、且每条对角线平分每组对角;3、 菱形的判定方法:四边形四边形ABCD是菱形.(3) 正方形1、定义:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质:边:四条边都相等;角:四角都是直角;对角线:对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分每组对角。3、正方形的判定方法:四边形ABCD是正方形.(四)三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.如图:DE是ABC的中位线 DEBC,DE=BC(五)几种特殊四边形的面积问题设矩形ABCD的两邻边长分别为,b,则=ab设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为,,则=设正方形ABCD的
11、一边长为,则;若正方形的对角线的长为,则四边形 1四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360;(2)四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理:(1)n边形的内角和等于(n-2)180;(2)任意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质:因为ABCD是平行四边形4.平行四边形的判定:.5.矩形的性质:因为ABCD是矩形6. 矩形的判定:四边形ABCD是矩形. 7菱形的性质:因为ABCD是菱形8菱形的判定:四边形四边形ABCD是菱形.9正方形的性质:因为ABCD是正方形 (1) (2) (3) 10正方形的判定:四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD是正方形11等腰梯形的性质:因为ABCD是等腰梯形 12等腰梯形的判定:四边形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形 14三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.15梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.一 基本概念: