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1、学 海 无 涯2020江苏高考数学模拟考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1若函数的最小正周期是，则 2若复数是纯虚数，则实数的值是 3已知平面向量，且，则实数 开始结束是否输出（第5题）4一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 5右图是某程序的流程图，则其输出结果为 6给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平
2、面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）7已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 8已知二次函数的值域是，则的最小值是 9设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 10若动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是 11在中，边上的中线，若动点P满足，则的最小值是 12设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是 13 57 9 11（第12题）13将所有的奇数排列如右表，其中
3、第行第个数表示为，例如若，则 14若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15（本小题满分14分）已知中，A，B，C的对边分别为，且（1）求角的大小；20070316（2）设向量，求当取最大值时，的值16（本小题满分14分）如图，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，（1）求证：是二面角的平面角；ABCDD1C1B1A1（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论17（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两
4、地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时元，根据市场调研，得知的波动区间是，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18（本小题满分16分）已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆过点，离心率为如图，平行于的直线交椭圆于不同的两点（1）当直线经过椭圆的左焦点时，求直线的方程；（2）证明：直线与轴总围成等腰三角形19（本小题满分16分）已知函数，其中常数（1）求的单调区间；（2）如果函
5、数在公共定义域D上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个20（本小题满分16分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和（1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；（2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合 （i）求的值；（ii）求数列的通项公式数学（附加题）21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选
6、修：几何证明选讲如图，设为O的任一条不与直线垂直的直径，是O与的公共点，AC，BD，垂足分别为C、D，且，求证：平分ABDB选修：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向量C选修：坐标系与参数方程若直线（参数）与圆（参数，为常数）相切，求的值D选修：不等式选讲若对于一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为（1）求摸出的三个球中既有
7、红球又有绿球的概率；（2）的分布列及的数学期望23（本小题满分10分）已知数列中，（1）求证：；（2）求证：当时，2012江苏高考最后一卷试题答案与评分标准数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1【解析】本题主要考查三角函数的周期性【答案】22【解析】本题主要考查复数的概念和运算【答案】3【解析】本题主要考查平面向量的垂直【答案】34【解析】本题主要考查古典概型【答案】5【解析】本题主要考查流程图【答案】6【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系【答案】（3）（4）7【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算【答案】8【解析】本题主要考查基本不等式【答案】39【解析】本
8、题主要考查函数的性质 O 1- 1- 4 2 x y 【答案】10【解析】本题主要考查线性规划【答案】 解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而，其中表示与点连线的斜率，由图可知，故11【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积【答案】 解答如下： 因为且，所以点P在线段上，故，设，则，当时取最小值12【解析】本题主要考查函数的概念和最值【答案】 解答如下：由题意，存在，使当时，使；当时，解得设，则由，得或（舍去），且在上递增，在上递减因此当时，所以的取值范围是13【解析】本题主要考查数列的通项【答案】34 解答如下：可以求得通项，所以且，从而，解得，于是，故14【解析】本题主要考查直线与
9、圆的方程及位置关系【答案】解答如下：由题可知动直线过定点设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分15本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力解：（1）由题意， 2分所以. 3分因为，所以.所以. 5分因为，所以. 6分（2）因为 8分所以 10分所以当时，取最大值此时（），于是 12分所以 14分16本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力证明：（1） 直棱柱中，BB1平面ABCD，BB1AC 2分又BADADC90，BCAC 5分平面，是二面角的平面角 7分（2）存在点P，P为A1B1
10、的中点 8分由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB又DCAB，DCAB，DC PB1，且DC PB1，DC PB1为平行四边形，从而CB1DP 11分又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP面ACB1 12分同理，DP面BCB1 14分17本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力解：（1）由题意，每小时的燃料费用为 1分从甲地到乙地所用的时间为小时 2分则从甲地到乙地的运输成本，即， 6分（2） 8分令，得（负值舍去）当时，关于单调递减当时，关于单调递增 9分所以，当即时，时取最小值 11分 当即时，时取最小值 13分综上所述，若，则当货轮航行速度为海里/小
11、时时，运输成本最少；若，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少 14分18本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力解：（1）根据，可设椭圆方程为， 将代入可得， 所以椭圆的方程为 4分 因此左焦点为，斜率 所以直线的方程为，即 6分 （2）设直线的斜率分别为，则， （*） 10分 设， 由，得 所以， 13分 代入（*）式，得 所以直线与轴总围成等腰三角形 16分19本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力 解：（1） ，常数） 令，则， 2分当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 4分当时， 故的单调递增区间是 5分当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 7分（2）令，令，则， 10分因为，所以，且从而在区间上，即在上单调递减 12分所以 13分又，所以，即 15分设（，则所以在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个 16分9
