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1、,第三节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分(26),本节内容:,第四章,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式 .,时,为真分式;,利用多项式综合除法,项式与一个真分 式之和的形式 . 例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,总可以将一个假分式化为一个多,_,_,如果多项式,在实数范围内能分解成一次因式和,二次质因式的乘积 , 如,(其中,那么真分式,可以分解成如下部分分式之和:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,
2、解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,去分母,得恒等式,令,得,再令,得,(3) 用比较系数法,去分母,得恒等式,或,比较恒等式两边 x 同次幂的系数得,(4) 综合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,去分母,得恒等式,令,得,得,再令,得,比较,项的系数, 得,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,例2. 求,解: 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法
3、同例3,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 将有理真分式分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便,的方法.,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 ,此解法较繁 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有
4、理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 三角函数有理式的积分,则,例7. 求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,解:,从理论上说任何三角函数有理式的积分都可用,例9. 求,万能代换求解.,此题若用万能代换求解就麻烦多了.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为在多数情况下万能代换往往不是最简洁的代换.,方法一:,但对于具体的题目不必都用万能代换,注意:,方法二.,方法三.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通
5、过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例10. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于初等函数来说，在其定义区间内，它的原函数一,定存在，但原函数不一定都是初等函数，如：,等等，它们的的原函数都不是初等函数.,初等函数,初等函数,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简化计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
