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1、,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在
2、,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为
3、其跳跃间断点 .,P65 题*8 提示:,作业 P65 4 ; 5,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,分析: 设函数,于是,故复合函数,且
4、,即,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,例1 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,则,原式,说明: 由此可见当,时, 有,例4. 求,解:,原式,说明: 若,则有,练习. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第
5、一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,第十节,一、最值定理,二、介值定理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C
6、 ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论: 在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,*三. 一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念 .,定义:,对任意的,都有,在 I 上一致连续 .,显然:,例如,但不一致连续 .,（证明在最后一页）,定理4.,上一致连续.,思考: P74 题 *7
7、,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,内容小结1,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,内容小结2.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,内容小结 3.,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.
8、,2. 设,时,提示:,3. P65 题 3,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,4.,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业 P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) ，(6) ; 6,提示:,“反之” 不成立 .,1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,2. 设,一点,3. 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,例如,但不一致连续 .,因为,取
9、点,则,可以任意小,但,这说明,在( 0 , 1 上不一致连续 .,思考: P74 题 *7,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,习题课,函数与极限,第一章,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,2. 已知, 求,解:,3. 设,求,解:,4. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,5. 设函数,试确定常数 a 及 b .,6. 无穷小,常用等价无穷小:,两个重要极限,或,6. 求极限：,提示:,7. 确定常数 a , b , 使,解: 原式可变形为,故,于是,而,8. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,作业 P75 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 13,9. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,
