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1、第四章 FIR滤波器的设计方法,线性相位FIR数字滤波器的特性 窗口设计法 IIR与FIR数字滤器的比较,学习要求：掌握线性相位的条件；熟练掌握FIR线性相位滤波器的幅频特性；会用窗口法设计FIR滤波器。,1、FIR数字滤波器,FIR数字滤波器的差分方程描述,对应的系统函数为：,FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同，对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。,4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性,4.1.1 线性相位特性 1、线性相位特性 相位特性是系统的一个特性，要研究系统的相位特性可求其傅立叶变换。,例：对于一个系统要实
2、现无失真传输则系统响应y(t)与激励f(t)的关系如下图。,求其傅立叶变换得：,而：,系统的幅频特性为：,相频特性：,图一：幅频特性,图二：相位特性,线性相位：指 是w的线性函数， 即群时延是一个常数。,（常数）,线性相位类别：,第一类线性相位：,第二类线性相位：,2、FIR滤波器满足第一类线性相位的条件,条件：h(k)是实数序列且对N/2点偶对称，即h(k)=h(N-1-k)。,计算其频率响应得（计算过程见板书）：,因为：h(k)是实函数，正弦函数也是实函数,幅度函数,相位函数,所以，只要h(k)是实序列，且h(k)为N/2点偶对称，则该滤波器就一定具有第一类线性相位。,3、FIR滤波器满足
3、第二类线性相位的条件,条件：h(k)是实数序列且对N/2点奇对称，即h(k)=-h(N-1-k)。,其频率响应为：,幅度函数,相位函数,综上，线性相位的条件：,即如果单位脉冲响应h(k)为实数，且具有偶对称或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。,4、线性相位FIR滤波器的幅度特性,偶对称的幅度函数：,奇对称的幅度函数：,图三：线性相位FIR滤波器幅度特性,1、h(n)偶对称，N为奇数 w=0,2偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。 2、h(n)偶对称，N为偶数 w= ,H(w)=0，不能用这种情况设计高通、带阻滤波器。 3 、h(n)奇对称，N为奇数 w=0,2时H(w)=0，
4、不能用作低通、高通或带阻，只能设计带通。 4、h(n)奇对称，N为偶数 w=0,2时H(w)=0，不能设计低通和带阻，可设计高通和带通。,表4.1 四种线性相位FIR滤波器特性 第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设计； 第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤波器不能设计高通和带阻； 第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计； 第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带通滤波器，不能设计低通和带阻。,总结： 可见，四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关，其幅度特性取决于h(n)，所以，设计FIR数字滤波器时，在保证h(
5、n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。,4.2 窗口设计法（时间窗口法）,FIR滤波器的一般设计过程总是先给定一理想频率响应为 ，然后设计一FIR滤波器用它的频率响应 去逼近 。 在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入手，这就是本节要讲的时间窗口设计法，另一种从频域入手，即下节讲的频率采样法。,时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得。,线性相位理想低通滤波器的频率响应：,相应的理想单位抽样响应为：,即：,1、FIR低通滤波器的设计,图四：理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)波形,由
6、上图可见，得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。 最直接简单的办法是直接截取其一段得到可实现的有限长因果序列。 为了构造线性相位滤波器，应使截取的一段对N/2对称，如： h(n)= hd(n)RN(n) 其中RN(n)为矩形序列，也称为窗函数。见下图。,图五：理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,所以，实际可实现的滤波器为：,我们用一个有限长序列h(n)来代替hd(n)，肯定会引起误差。对实际得到的h(n)取频率响应得其幅频图如下：,图七：理想的幅频特性曲线,图六：实际滤波器的幅频特性曲
7、线图,从实际滤波器的幅频图和理想的滤波器幅频曲线比 较，可见加窗对理想频响的影响： 1、在w=wc附近形成过渡带，其宽度取决于窗函数 的主瓣宽度。 2、通带内增加了波动，阻带内产生了余震并减少了阻带的衰减。这是由窗函数旁瓣的作用引起的。,这种误差表现在频域上，称为吉布斯效应。,如何减少吉布斯效应？,加大N，只能使过渡带变窄； 要减少带内波动以及加大阻带衰减，就需要选择合适的窗函数。,为了改善滤波器的特性，必须改变窗函数的形状，窗函数要满足以下两点要求： 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带
8、平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。,2、几种典型的窗函数,1）矩形窗,窗函数为：,2）汉宁窗（升余弦窗）,窗函数为：,3）哈明窗（改进的升余弦窗）,窗函数为：,它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在主瓣内。,4）布莱克曼窗,窗函数为：,增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带。,5）凯塞窗,以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减,如图。,窗函数为：,其中,四种窗函数的比较,四种窗函数的时
9、域波形如图4.6，幅度谱如图4.7，用四种窗函数所设计的滤波器的频响特性如图4.8。,从(a)(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。,（N=51， =0.8）,图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的三倍。,3、用窗函数法设计FIR滤波器步骤,1) 根据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应hd(n); 2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估算窗口的长度N； 3) 计算滤波器的单位脉冲响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如果要求是线性相位，则hd(n
10、) 和w(n)均对N/2点对称。 对于FIR滤波器，得h(n)就设计好了，当然要验证指标的话，还应求出频率响应。,另一个FIR滤波器参数表,(模拟指标),优点：1. 无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器； 4. 方法特别简单。,缺点：1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想； 3. 较长；,改进：1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。,FIR DF 设计的窗函数法的特点：,窗口法设计FIR高通带通带阻滤波器,1、线性相位FIR高通滤波器的设计 (第一类线性相位)理想高通的频率响应为：,第二类线性相位（有相移）(略),其单位抽样响应为：,
11、相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在c 处的低通滤波器。,例2:根据下列技术指标，设计一个FIR数字高通滤波器：wp=0.6 ,ws=0.4 ,Ap=0.25dB,As=40dB。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应。（ex4_hp.m）,课本P150 表4.2 几种窗函数的性能,解：wp=0.6;ws=0.4 tr_width=wp-ws=0.2 N=6.2 /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5;,理想高通,选择汉宁窗,汉明窗函数为,所以，h(n)=hd(n)w(n),注意与上次课例子做比较,2、线性相位FIR带通滤波器的设计
12、 理想带通的频率响应为：,其单位抽样响应为：,可见，带通滤波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1),习题1：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带通滤波器：wpl=0.4 , wph=0.6 , wsl=0.2, wsh=0.8, Apl=1dB, Aph=1dB, Asl=60dB , Ash=60dB 。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应. (ex4_bandpass.m),3、线性相位FIR带阻滤波器的设计 理想带阻的频率响应为：,其单位抽样响应为：,可见，带阻滤波器(w1,w2)=高通(w2)+低通(w1),习题2：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带阻滤波器：wpl=0.2 , wph=0.8 , wsl=0.4, wsh=0.6, Apl=1dB, Aph=1dB, Asl=40dB , Ash=40dB 。选择一个合适的窗函数，确定单位冲激响应。 (ex4_stop.m),总结：,低通、高通、带通和带阻FIR滤波器的设计步骤是一样的，区别在于取的理想单位抽样响应hd(k)不同，并关注线性相位时，各类滤波器对应的N奇偶情况要求。,4.5 IIR与FIR数字滤器的比较,
