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1、2020/8/8,1,五 、序列的Fourier变换及其性质,1 序列的Fourier变换和反变换：,2020/8/8,2,2020/8/8,3,若序列x(n)绝对可和，即,则其Fourier变换 存在且连续，是序列的z变换在单位圆上的值：,2020/8/8,5,2序列的傅立叶变换的收敛条件,根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为,*这要求序列满足绝对可和的条件 *该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件,2020/8/8,6,例 2-12 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。,解：,*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的,上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦
2、定理(Parseval)。,2020/8/8,7,例 2-13证明复指数序列 的傅立叶变换为,证明：,计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质， 有,当 =0时， =1，由此得到常数1的傅里叶变换为,若序列可表示成复指数和的形式，,2020/8/8,8,利用例2-13的结果，可以得到它们的傅立叶变换表达式,例 2-13b 求余弦序列 的傅立叶变换,解：,利用上式的结果得,*可见 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，它还以2 为周期进行周期延拓。,2020/8/8,9,在信号与系统中曾经指出，单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的
3、频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。,2020/8/8,10,一般为 的复变函数，可表示为,其中， 分别为 的实部和虚部，通常称 为幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有,它们也都是 的连续函数和周期为2 的周期函数。,2020/8/8,11,例2-14 已知 ，求它的傅立叶变换。,解：,其幅度谱和相位谱分别为,2020/8/8,12,其图形如下,2020/8/8,13,3 序列的傅立叶变换的性质,下面列出这些性质，所有性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明。,因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，
4、故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。,2020/8/8,14,（1）. 周期性 在DTFT定义式中， n取整数， 因此下式成立,M为整数,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数， 其实定义式已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。,2020/8/8,15,图 2.2.2 cosn的波形,2020/8/8,16,（2）.线性性,则对任何常数a和b有,如果,（3）.序列的移位,则,如果,即时域的移位，导致频域的相移,2020/8/8,17,（4）.频域的相移,则,如果,即频域的相移相当于对时域信号进行了调制。,（5）.序列的反褶,则,如果,202
5、0/8/8,18,（6）.序列的共轭,则,如果,（7）.微分性质,即对时域信号进行线形加权对应于频域的微分。,2020/8/8,19,（8）.时域卷积定理,则,若,即两个序列在时域的卷积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的乘积。,2020/8/8,20,（9）.序列相乘(频域卷积定理),则,若,即两个序列在时域的乘积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的卷积。,2020/8/8,21,（10）.帕思瓦定理(Parseval),则,若,2020/8/8,22,证明: 由Z变换的帕斯瓦定律,*帕思瓦定理是说明了时域的能量等于频域中的能量。,当x(n)=y(n)时有,2020/8/8,23,（1）,2-7
6、 求以下序列 的频谱,2020/8/8,24,（4）,2020/8/8,25,2-9 求 的傅里叶变换,解：,2020/8/8,26,2-10 设 是如图所示的 信号的傅里叶变换，不必求出 ，试完成下列计算：,解：由序列的傅里叶变换公式,2020/8/8,27,解：由Parseval公式,解：由序列的傅里叶反变换公式,2020/8/8,28,六 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即,(2.3.8),1 对于时域离散系统中， x(n)=e jon， 2/o为 有理数， 暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样， 也是在=0处的单
7、位冲激函数， 强度为2，但由于n取整数， 下式成立,取整数,2020/8/8,29,上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。 但这种假定如果成立， 要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在， 且唯一等于 ， 下面进行验证， 按照(2.2.4)式,因此e j0n的FT为,(2.3.9),2020/8/8,30,图 2.3.2 的 FT,2020/8/8,31,观察图2.3.2， 在区间， 只包括一个单位冲激函数， 等式右边为 ， 因此得到下式： 证明了(2.3.9)式确定是ej0n的FT， 前面的暂时假定是正确的。 2 对于一般周期序列 ， 按(2.3.6
8、)式展开DFS， 第k次谐波为 ， 类似于复指数序列的FT， 其FT为 ，因此 的FT如下式,2020/8/8,32,式中k=0, 1, 2 N-1, 如果让k在之间变化， 上式可简化成,(2.3.10),2020/8/8,33,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,2020/8/8,34,对(a)式进行FT， 得到,2020/8/8,35,例 2.3.3令 ， 2/0为有理数， 求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开,(2.3.11),按照(2.3.9)式， 其FT推导如下：,2020/8/8,36,上式表明cos0n的FT， 是在=0处的单位冲激函数， 强度为， 且以2为周期进行延拓， 如图
9、2.3.4所示。,2020/8/8,37,图 2.3.4 cos0n的FT,2020/8/8,38,七 序列傅里叶变换的对称性,1序列的共轭对称性质,若序列 满足,则称 为共轭对称序列 。,类似地，若序列 满足,则称 为共轭反对称序列,2020/8/8,39,为研究共轭对称序列具有什么性质， 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),2020/8/8,40,对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) (2.2.11) xei(n)=-xei(-
10、n) (2.2.12) 由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。 类似地， 可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13),2020/8/8,41,将x0(n)表示成实部与虚部如下式： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 可以得到 xor(n)=-xor(-n) (2.2.14) xoi(n)=-xoi(-n) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,2020/8/8,42,例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x
11、(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10)式， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,2020/8/8,43,2序列傅立叶变换的共轭对称性,将序列x(n)分成共轭对称与共轭反对称部分,即,A,对上式两边进行傅立叶变换，则,若将 分成实部与虚部,可知,*表明 的傅立叶变换对应于 的实部， 的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j在内).,2020/8/8,44,推导： x(n)=xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将(2.2.16)式中的n用
12、-n代替， 再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) 利用两式， 得到,(2.2.18),(2.2.19),2020/8/8,45,对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) 式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分， Xe(ej)=X*e(e-j) Xo(ej) =-X*o(e-j) 同样有下面公式满足：,(2.2.23),(2.2.24),2020/8/8,46,将序列x(n)分成实部与虚部,B,对上式两边进行傅立叶变换，则,定义,则,*表明 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质.,显然有,2020/8/
13、8,47,由以上性质，可得到以下推论：,*若序列为纯实数序列，即若,则有,由此得出：,所以实序列x (n)的傅立叶变换的实部是w的偶函数，而虚部是w的奇函数。,2020/8/8,48,*如果将傅立叶变换表示成极坐标的形式：,可见，对实序列x (n)的傅立叶变换来说，其幅度是w的偶函数，而相位是w的奇函数,即,同样若序列为纯虚数序列，即若 ，显然有,即纯虚数序列的傅立叶变换是w的奇函数。,2020/8/8,49,下面分析实因果序列h(n)的对称性。 因为h(n)是实序列， 其FT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列
14、的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),2020/8/8,50,按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,(2.2.27),2020/8/8,51,(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2
15、.2.30),2020/8/8,52,(2.2.31),例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按(2.2.2)式得到,2020/8/8,53,按照(2.2.28)式得到,2020/8/8,54,图 2.2.3 例2.2.3图,2020/8/8,55,序列的Fourier变换的对称性质,定义： 共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,2020/8/8,56,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,2020/8/8,57,对称性质,序列 Fourier变换,2020/8/8,58,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,2020/8/8,59,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇函数,2020/8/8,60,表 2.3 序列傅里叶变换的性质,2020/8/
