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1、数字滤波器(DF)的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。 如何用数字滤波器处理模拟信号？ 通过A/DC和D/AC，用数字滤波器对模拟信号进行处理。,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,数字滤波器的数学描述,差分方程,系统函数,1、数字滤波器的分类 (1) 一般分类 经典滤波器（选频滤波器）：适用于信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带的情况，通过选频滤波器达到滤波的目的。 现代滤波器：适用于信号和干扰的频带相互重叠的情况，通过现代滤波器利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号。如：维纳
2、滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。 本书只讨论选频滤波器的设计。 (2) 从滤波器的功能上来分类 分为低通、高通、带通、带阻滤波器,理想滤波器幅度特性,特点：(1)h(n)非因果且无限长，物理不可实现，只能尽可能逼近；(2)DF的频率响应以2为周期，低频区域处于的偶数倍附近，高频区域处于的奇数倍附近。,2、数字滤波器的技术要求 数字滤波器的传输函数H(ejw) |H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。 系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,p：通带截止频率，通带频率范围：0 p ； S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：
3、3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减 1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；,如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成,3. 数字滤波器设计方法 IIR滤波器设计方法： (1)先设计模拟滤波器(AF)的系统函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 (2) 借助CAD(计算机辅助设计)在频域或时域直接设计； FIR滤波器设计方法 (1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法. (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。,6.3 模拟滤波器(AF)的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟
4、滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,AF的表示：,AF的设计：找到ha(t) 或Ha(s)（更多时候）, 即找到典型滤波器公式中的阶和未知参数。,各种理想模拟滤波器的幅度特性,可实现模拟滤波器的幅度特性,滤波器,无源滤波器（由R、L、C等元件组成）,有源滤波器（由运放、R、C等元件组成）,有源滤波器的工作频率难以做得很高,而无源滤波器的工作频率很高,设 为某一频率正弦量,有源低通滤波器,为改善滤波效果，常采
5、用二阶低通滤波器,有源高通滤波器,只需将低通滤波器的 R、C 互换,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 (1) 设计指标有：p、s、 p、 s 其中：p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率; p是通带 (0p)内允许的最大衰减系数， s是阻带（s）内允许的最小衰减系数，,图中c称为3dB截止频率，因,如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1,技术指标高指： p越小、s越大、过渡带越小越好。,技术指标可归纳为：,(2) 用模拟滤波器逼近方法设计滤波器步骤： 给出模拟滤波器的技术指标 ； 设计传输函数 Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as，|Ha(j)|2 = Ha
6、(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j 确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S 左半平面内。,特点： 单调变化。当=0时，|H(j)|=1； 3dB点必通过。当=c时，|H(j)|= N越大，曲线越陡峭。当N=,就是理想滤波器。,2、Butterworth 低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的模方函数|Ha(j)|2用下式表示：,N: 滤波器阶数。,c是3dB截止频率。,Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制,巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1) 根据给出的技术指标P、S、p、S，求N， c,N可能有小数部分，取大于等于N的最小整数
7、。,k=0,1,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/Nrad，其中，一半是Ha(s)的极点，另一半是Ha(-s)的极点。则左半平面的N个极点属于Ha(s) (稳定系统)，右半平面N个极点属于Ha(-s).,N=3,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,一半极点在左半平面,一半极点在右半平面,=/c，称为归一化频率，,可知：只要知道阶数N，就可得到极点pk。 查表P1
8、20 表6.1可直接得到极点pk和归一化系统函数Ha(p),图表法：为使滤波器能统一设计，将所有的频率对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 ：,将Ha(p)去归一化，得到系统函数Ha(s),表6. 1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,表示两极点P1、PN-2,阶数N的确定,阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:,将=s代入幅度平方函数中:,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：,通常是用一个算出c，然后用另一个(反过来)来检验。,总结以上，低通
9、巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,根据技术指标p,p,s, s，求出滤波器的阶数N。,(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。,(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。,解：(1) 设计模拟滤波器的指标为 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.4104(rad/s)， as=30dB (2) 确定阶数N和c,【例】通带截止频率fp=5kHz，最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，最小衰减s=30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。,(3) 由N，查表确定Ha(p),b0=1.0000、b1
10、=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361,N=5,(4) 将p=s/c 代入Ha(p)去归一化，得Ha(s),(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。,检验：,可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。,6.3.4 Chebyshev低通滤波器的设计方法,提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就
11、可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,切比雪夫多项式,当N=0时，C0(x)=1 当N=1时，C1(x)=x 当N=2时，C2(x)=2x2-1 当N=3时，C3(x)=4x3-3x 当N=4时，C3(x)=8x4-8x2+ 1 切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,通带内：在1和 间等波纹起伏,N为奇数,N为偶数,通带外：迅速单调下降趋向0,Chebyshev滤波器的三个参量：,Wp ：给定; e ; N,滤波器阶数N 的确定,阻带衰减越大所需阶数越高,滤波器的设计步
12、骤:,归一化：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：,计算传函 ： 极点法,计算传函 ：查表法,2. 通带波纹1dB,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程：,设计技术成熟 有相当简便的 公式和图表,要求DF特性 模仿AF的特性,实际上是个映射问题 Mapping,若转换后的H(z)稳定且满足技术要求，则设计过程要满足： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。,满足上述转换关系的映射方法有：,脉冲响应不变法和双线性变换法,一、脉冲响应不
13、变法的基本思想 使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值 二、变换方法 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z),所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法,si为Ha(s)的单阶极点,LT-1Ha(s),U(t)为单位阶跃函数,对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 结论:(1) S平面的单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系数与
14、H(z)部分分式的系数相同。 （3）左半平面映射到单位圆内，模拟滤波器稳定则数字滤波器稳定,三、S平面和Z平面之间的映射关系 1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： (1) 设ha(t)的采样信号表示为: (2) 对 进行拉氏变换，得到,2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： 模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足： 结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；,将s=j代入上式，得：,说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时 Ha(s)沿虚轴以s=2/T
15、为周期进行周期延拓; 再经过Z=eST的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z) 上面的这种转换是否满足对转换关系提出的2点要求: 设：S=j，Z=rejw 脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eST rejw=e(j)T=eTe jT 得到：r= eT； w=T,频率域的坐标变换是线性的,因果稳定 模仿频响,由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：,0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1) 以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。,r= eT,因果稳定的分析,当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度
16、为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外 j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周,z=esT是周期函数,由上面分析结果： S平面与Z平面的映射关系满足转换条件； 但存在着多值(s)单值(z)映射关系,(3) DF的频响是AF频响的周期延拓,频率混叠,只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。,(2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。,脉冲响应不变法的应用受限 只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。,假设 没有频率混叠现象，即满足：,按照上式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：,数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响,四、脉冲响应不变法的优缺点 优
