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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,
2、思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,3. 性质,（, 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,
3、则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例4. 计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5. 计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,思考: 例5中 改为,计算,解: 令, 则,圆 的形心在原点, 故, 如何,例6. 计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,则,例7. 有一半圆弧
4、,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),故重心坐标为,作业 P188 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5,第二节,备用题,1. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,2. L为球面,标面的交线 , 求其形心坐标.,在第一卦限与三个坐,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,
