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1、,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便,
2、先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录
3、上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 试计算椭球体,的
5、体积V.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 交换积分顺序,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
