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1、*四、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,三、特殊形式二重积分的计算,基本要求,2、掌握二重积分在极坐标下的计算方法；,1、掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法；,3、掌握二重积分交换积分次序的方法；,4、掌握特殊形式下二重积分的计算方法.,上页 下页,（1）X 型区域,穿过D内部且平行于x 轴的直线与D的边界的交点,特点：,一 积分区域的类型,不多于两点.,上页 下页,（3）D既不是X型又不是Y 型区域,在分割后的三个区域上利 用积分性质3，得,则必须分割D成X型或Y型区域（如图）,上页 下页,回顾（上p105）平行截
2、面面积为已知的立体的体积,立体体积为,平面之间,a,b,x,1、计算公式,二 利用直角坐标计算二重积分,A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积,且,连续,则,上页 下页,所得截面为曲边梯形，如下图：,下面用几何观点来讨论二重积分的计算问题:,设D为X-型区域,应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法：,作法：,作平行于yoz面的平面 ,平面截曲顶柱体,当 时,表示以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,上页 下页,曲边梯形的面积为,曲顶柱体的体积为,上页 下页,上式右端的积分称为先对y后对x 的二次积分(或称,先对y 后对x 的二次积分通常记作,即先固定x(x看作常数),把 只看作y
3、 的函数,并对y 求定积分.,上的定积分.,累次积分).,然后将算得的结果再对x 计算在区间,上页 下页,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,上页 下页,同理,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,上页 下页,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择或交换积分次序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,上页 下页,注意:计算二重积分时,选择积分次序是至关重要的.,2、二重积分计算的一般步骤:,第一步 画出积分区域D的草图,求出D的边界
4、曲线 的交点坐标;,第二步 选择积分次序;,第三步 确定积分限;,定限口诀为：,后积先定限; 限内划条线;,先交下限写; 后交上限见.,第四步 计算二次积分.,上页 下页,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,上页 下页,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,上页 下页,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需
5、交换积分顺序.,(几个常见积分),上页 下页,交换二次积分的积分次序一般步骤为：,第一步 由所给的二次积分的上、下限写出表示 积分区域D的联立不等式；,第二步 根据表示D的不等式组画出D的草图；,第三步 根据新的积分次序,由D的图形确定积分限, 写出新的二次积分.,三 交换积分次序,上页 下页,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,上页 下页,练习. 求积分,其中,上页 下页,解 这事实上是二次积分.因,的原函数不是初等,函数,即,不能用初等函数表示出来,故,不能先对y 积分, 应交换积分次序.,对应有,8.2.2 利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,
6、用同心圆 r =常数,边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,则除包含,上页 下页,即,上页 下页,极坐标系下的面积微元为,例5. 化二次积分 为极坐标系,下的二次积分.,上页 下页,解 本题解题步骤与直角坐标系下交换积分次序的步,骤相同.,的不等式表示为:,在极坐标系下:,D,于是有,又,上页 下页,1、极点O在D的外部,二、极坐标系下的二重积分的计算,上页 下页,上页 下页,2、极点O在D的内部,3、极点O在D的边界上,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),
7、(2),上页 下页,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,上页 下页,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,上页 下页,练习. 1 计算,其中D是由,围成的位于第一象限的闭区域.,2 计算,其中D为,上页 下页,上页 下页,1.解 画出D的图形.,分别为,在极坐标系下,圆的方程,从而在极坐标系下,有,于是,2 解 画出积分区域D的图形.,转换成极坐标,有,上页 下页,三 特殊形式二重积分的计算 (P.186),上页 下页
8、,1.被积函数为分段函数,分区域积分,解 令,2.被积函数中含有绝对值符号,将积分区域D分为几个子区域,使被积函数在各子 区域内保持确定的符号,以消除被积函数中的绝对 值符号, 再在各子区域内积分.,计算方法:,计算,令,由曲线,上页 下页,例8 计算,其中,故,因为,上页 下页,又,故,于是,上页 下页,3.利用对称性计算二重积分,对二重积分有下列对称性质:,(1)积分区域D关于x 轴对称，f(x,y)是y 的奇或偶函数，,则,上页 下页,(2) 积分区域D关于y 轴对称，f(x,y)是x 的奇或偶函数，,则,上页 下页,在第一象限部分, 则有,(3) 积分区域D关于原点对称，f(x,y)同
9、时为x、y 的奇 或偶函数，则,(4) 积分区域D关于直线 y = x对称，则,上页 下页,和,所围成的平面区域.,于是,上页 下页,所围区域,于是,又,所以,上页 下页,在第象限中的部分,函数的奇偶性有:,则由积分区域的对称性和被积,上页 下页,为D,例10. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,上页 下页,定积分换元法,*四、二重积分的换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,上页 下页,面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,上页 下页,例11. 计算,其中D 是 x 轴 y
10、轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,上页 下页,例12. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,上页 下页,例13. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,上页 下页,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,上页 下页,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,上页 下页,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,上页 下页,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,上页 下页,(1)?,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,上页 下页,作业,P190 1 (2), (4); 2(1) ; 3(2); 5(1), (3); 1 (6), (7); 6 (2), (3); 7,上页 下页,
