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1、目录目录1第一章轨迹方程2第一节：直译法:2第二节：定义法:3第三节：相关点法:4第四节：参数法:5第二章常见条件翻译转化9第一节:三角形的面积表达9第二节:向量背景的条件翻译13第三节:斜率、角度的条件翻译15第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值17第一节:最值问题 (均值、函数)17第二节:定点、定值21第一章轨迹方程动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.第一节：直译法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明
2、了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.1.(2018全国)双曲线x212-y24=1, 为其左右焦点,C是以为圆心且过原点的圆.(1)求C的轨迹方程;(2)动点P在C上运动,M满足F1M=2MP,求M的轨迹方程.【解答】解:(1)由已知得a2=12,b2=4,故c=a2+b2=4,所以F1(4,0)、F2(4,0),因为C是以F2为圆心且过原点的圆,故圆心为(4,0),半径为4,所以C的轨迹方程为(x4)2+y2=16;(2)设动点M(x,y),P(x0,y0),则F1M=(x+
3、4,y),MP=(x0-x,y0-y),由F1M=2MP,得(x+4,y)=2(x0x,y0y),即&x+4=2(x0-x)&y=2(y0-y),解得&x0=3x+42&y0=3y2,因为点P在C上,所以(x0-4)2+y02=16,代入得(3x+42-4)2+(3y2)2=16,化简得(x-43)2+y2=649.第二节：定义法:若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。【例1】和是平面上的两点，动点满足 ，求点的轨迹方程.解析 因为，所以由椭圆定义，动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为 ，则有
4、，半焦距 ，所以 ，所以所求动点的轨迹方程为【例2】设圆与两圆一个内切，另一个外切，求的圆心轨迹的方程。解析 设圆C的圆心为C（），半径为，由题意可知两圆的圆心分别为，半径均为2，因为圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，所以或，所以，即圆C的圆心轨迹L是双曲线。设C（）的轨迹L的方程为，则，圆C的圆心轨迹L的方程为。【例3】已知动圆与定圆外切，又与定直线 相切，那么动圆圆心的轨迹方程是 解析设动圆P的半径为，点P到定点C的距离等于，又点P到直线的距离|PD|等于，易知点P只能在直线的左侧。将直线相右平移1个单位得到，则点P到定点C（-2，0）的距离等于P到定直线的距离。这样点P的轨迹为抛物线，
5、该抛物线的焦点为（-2，0），准线方程为，则方程为。【例4】已知平面内一动点到点 的距离与点到轴的距离的差等于1，求动点的轨迹的方程。解析 设动点P，由题意有，即，当时，；当时，所以动点P的轨迹C的方程为和。第三节：相关点法:有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式.【例1】已知为椭圆上的点，点坐标为，有 求点的轨迹方程.解析 设， 因为，故 即 代入 得 ，因此点的轨迹方程为 【例2】（2011陕西理20）如图10-17所示，设是圆 上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且，当在圆上运动时
6、，求点的轨迹的方程. 解析 设M的坐标为，P的坐标为，因为M为PD上一点，且|MD|=|PD|，所以，又P在圆上，所以，即，故点M的轨迹C的方程为。【例3】如图10-18所示，已知是椭圆 上两动点，且直线 与的斜率之积为 （其中为坐标原点），若点满足 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定植？若存在，求的坐标：若不存在，说明理由。解析 设，因为直线OM与ON的斜率之积为，所以，即， 由，得，即， 因为点M，N在椭圆上，所以，故把代入上式得，即，所以点P在椭圆上（其中。由椭圆定义知：存在两定点（即椭圆的焦点），使得为定值。第四节：参数法:有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较
7、容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.【例1】设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，点 是坐标原点，点满足，求动点的轨迹方程。解析 设 因为，所以 （1） 当直线斜率存在时，
8、设斜率为k则 ，由 得 即 则有 ，故 ， 得出 即 ，所以 ，解出 化简得 整理得 (2)当直线的斜率不存在时， ，将代入等式成立综上（1）（2）得，点的轨迹方程为第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线的方程 代入圆锥曲线的方程 ,消去(也可以消去)得到关系一个变量的一元二次方程,即 ,消去后得 (1)当时,即得到一个一元一次方程,则与相交,且只有一个交点,此时,若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行;若为抛物线,则直线与抛物线的对称轴平行 (2) 当时, ,直线与曲线有两个不同的交点; ,直线与曲线相切,
9、即有唯一的公共点(切点); ,直线与曲线二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线 ,曲线为与的两个不同的交点,坐标分别为,则是方程组 的两组解,方程组消元后化为关于的一元二次方程() ,判别式 ,应有 ,所以是方程的根,由根与系数关系(韦达定理)求出 , 所以两点间的距离为 ,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于的形式三、三角形面积求法方法适合题型一切题型边角已知的题过定点的题备注不一定简单简单简单【例1】.(2010新课标)设分别是椭圆的左、右焦点,过的直线与相交于两点,且成等差数列.(1)求;(2)若直线的斜率为,求的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|
10、+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43(2)L的方程式为y=x+c,其中c=1-b2设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组&y=x+c&x2+y2b2=1.,化简得(1+b2)x2+2cx+12b2=0.则x1+x2=-2c1+b2,x1x2=1-2b21+b2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=2|x2-x1|即43=2|x2-x1|.则89=(x1+x2)2-4x1x2=4(1-b2)(1+b2)2-4(1-2b2)1+b2=8b4(1+b2)2.解得b=22.【例2】.(2012安徽)如图,分别是椭圆:x2a2+y2b2=1的
11、左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(1)求椭圆的离心率;(2)已知的面积为,求的值.【解答】解:(1)F1AF2=60a=2ce=ca=12.(2)设|BF2|=m,则|BF1|=2am,在三角形BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120(2am)2=m2+a2+am.m=35a.AF1B面积S=12|BA|F1A|sin6012a(a+35a)32=403a=10,c=5,b=53.【例3】.过抛物线的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于两点,若线段的长为,则_.解析 设过焦点且倾斜角为45的直线方程为,联立直线方程与抛物线
12、方程得,消得.设A,B两点的坐标为,则,故8,则2.【例4】.(2012北京文19)已知椭圆的一个顶点为,离心率为, 直线与椭圆交于不同的两点.(1)求椭圆的方程(2)当的面积为时,求的值.解析:(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,则,.因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.(2014辽宁文20)圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程
13、.解析:(1)设切点坐标为.则切线斜率为.切线方程为.即.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积.由知当且仅当时,有最大值.即有最小值.因此点的坐标为.(2)设的标准方程为.点.由点在上知.并由得.又是方程的根,因此,由,得.由点到直线的距离为及得.解得或.因此,(舍)或,.从而所求的方程为.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.(2010辽宁)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2
14、),由题意知y10,y20.(1)直线l的方程为y=3(x+c),其中c=a2-b2.联立&y=3(x+c)&x2a2+y2b2=1 得 (3a2+b2)y2-23b2cy-3b4=0.解得y1=3b2(c+2a)3a2+b2,y2=3b2(c-2a)3a2+b2.因为AF=2FB,所以y1=2y2.即3b2(c+2a)3a2+b2=2 3b2(c-2a)3a2+b2,解得离心率e=ca=23.(6分)(2)因为|AB|=1+1k2|y2-y1|,154=1+1343ab23a2+b2.由ca=23 得b=53a,所以54a=154,解得a=3,b=5.故椭圆C的方程为x29+y25=1.(12分)【例2】.(2012陕西)已知椭圆x24,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,点分别在椭圆和上,OB=2OA,求直线的方程.【解答】解:(1)椭圆C1:x24+y2=1的长轴长为4,离心率为e=ca=32椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为e=ca=32b=2,a=4椭圆C2的方程为y216+x24=1;(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),OB=2OAO,A,B三点共线,当斜率不存在时,OB=2OA不成立,点A,B不在
