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1、第3讲 分类讨论思想 分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法.其 基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度.,2. 分类讨论的常见类型： （1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身 是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对 数函数等. （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论： 有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不 同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公
2、 式、函数的单调性等. （3）由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运 算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与 底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两,边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等. （4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图 形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限； 点、线、面的位置关系等. （5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参 数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数 的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的 参数值要运用不同的求解或证明方法. （6）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题 中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.,3. 分类讨论
3、的原则 （1）不重不漏. （2）标准要统一，层次要分明. （3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无 原则地讨论. 4.解分类问题的步骤 （1）确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数 进行分类讨论. （2）对所讨论的对象进行合理的分类. （3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决. （4）归纳总结：将各类情况总结归纳.,一、根据数学的概念，分类讨论 例1 设0 x1，a0且a1，比较|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|的大小. 思维启迪 先利用0 x1确定1-x与1+x的范围， 再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式 差与0的大小关系，从而比较出大小. 解 0 x1，01-
4、x1,1+x1,01-x21. 当0a1时，loga(1-x)0，loga(1+x)0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =loga(1-x)-loga(1+x)=loga(1-x2)0;,当a1时，loga(1-x)0,loga(1+x)0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0. 由可知，|loga(1-x)|loga(1+x)|. 探究提高 本题是由对数函数的概念内涵引发的 分类讨论.由概念内涵分类的还有很多,如绝对值： |a|的定义分a0、a=0、a0三种情况；直线的 斜率：倾斜角
5、90,斜率k存在;倾斜角 = 90，斜率不存在；指数、对数函数：y=ax(a0 且a1)与y=logax(a0且a1)，可分为a1,0 a1两种类型；直线的截距式：直线过原点时为 y=kx,不过原点时为,变式训练1 已知数列an的前n项和为Sn=32n- n2，求数列|an|的前n项和Pn. 解 由Sn=32n-n2， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =32n-n2-32（n-1）+(n-1)2 =33-2n； 当n=1时，a1=S1=31,an=33-2n（nN*）. 令an0，则33-2n0,n16.5, 因为nN*,所以n16时，an0;n17时，an0, 所以本题Pn的求值问题应分两种
6、情况讨论. 当n16时，Pn=|a1|+|a2|+|an|,=a1+a2+a3+an =Sn=32n-n2. 当n17时，Pn=|a1|+|a2|+|a16|+|a17|+ |an|=a1+a2+a16-a17-a18-an=（-a1-a2- a16-a17-a18-an）+2（a1+a2+a16） =-Sn+2（a1+a2+a16）=-Sn+2S16. 因为S16=3216-162=1616=256， Sn=32n-n2，所以Pn=512-32n+n2. 数列|an|的前n项和,二、 根据公式、定理、性质的条件分类讨论 例2 设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0 （n=1，2，3，）.
7、（1）求q的取值范围； （2）设 记bn的前n项和为Tn，试 比较Sn与Tn的大小. 思维启迪 （1）根据条件列出关于q的不等式， 注意分类讨论. （2）能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商 比较大小. 解 （1）an是等比数列，Sn0,可得 a1=S10,q0,当q=1时，Sn=na10; 当q1时， 即 上式等价于 或 解式得q1; 解式，由于n可为奇数、可为偶数，故-1q1. 综上，q的取值范围是（-1，0）（0，+）.,(2)由 又因为Sn0且-1q0或q0,所以 当 Tn-Sn0,即TnSn； 当 且q0时，Tn-Sn0，即TnSn； 当 或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn
8、.,探究提高 本题以等比数列为载体，涉及了分类 讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不 等式的解法和比较大小的基本方法作差比较法. 同时含有字母q,一般要进行分类讨论，要特别注 意等比数列求和公式在应用时一定要分q=1和q1 讨论 . 变式训练2 在等差数列an中，a1=1，前n项和Sn 满足条件 （1）求数列an的通项公式； （2）记bn=an (p0),求数列bn的前n项和Tn.,解 （1）设等差数列an的公差为d， 当n=1时， 所以a2=2，即d=a2-a1=1. 当n2时， 所以an=n.,（2）由bn=an ，得bn=npn，所以 Tn=p+2p2+3p3+（n-1）pn-1+
9、npn， 当p=1时， 当p1时， pTn=p2+2p3+3p4+（n-1）pn+npn+1， 由-，得（1-p）Tn=p+p2+p3+pn-1+pn-npn+1,三、 根据字母（参数）的取值情况分类讨论 例3 已知mR，求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在 区间0，1上的最大值. 思维启迪 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m0 时f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 求最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况 去讨论. 解 (1)当4-3m=0,即 时，函数 它在0，1上是减函数，所以 (2)当4-3m0,即 y是二次函数. 若4-3m0,即 二次函数y的图象开
10、口向上，,对称轴 它在0，1上的最大值只能 在区间端点得到（由于此处不涉及最小值，故不 需讨论区间与对称轴的关系）. f(0)=m,f(1)=2-2m. 当m2-2m, 当m2-2m, 若4-3m0，即 二次函数y的图象开口向 下，又它的对称轴方程 所以函数y在 0，1上是减函数.,于是ymax=f(0)=m. 由（1）、（2）可知，这个函数的最大值为 探究提高 （1）先对参数m按f(x)的属性（是一 次函数还是二次函数）分成 两类,这 是一级分类，然后对 又按抛物线开口方向 分成 和 两类，这是二级分类，最后 在 中，又按f(0),f(1)的大小关系，又分成 两类，这是三级分类，每次分类 都
11、有一个标准，要做到不重不漏.,（2）另外，在求最大值时，对于 即开口向 上时，也可按对称轴与区间的关系（对称轴在区 间两侧，对称轴在区间中分两类）. （3）二次函数在闭区间上的最值问题是高考中的 重点内容，一定要熟练掌握. 变式训练3 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和 圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比 等于常数 （ 0），试求动点M的轨迹方程，它 表示什么曲线？,解 如图，设直线MN切圆于N，则动点M组成的 集合P=M|MN|= |MQ|，式中常数 0,因为 圆的半径|ON|=1，依勾股定理|MN|2=|MO|2- |ON|2=|MO|2-1， 设点M的坐标为（x，y
12、），则 整理得（ 2-1)(x2+y2）-4 2x+（1+4 2）=0， 当 =1时，方程化为 它表示一条直线. 当 1时，方程化为 它表 示圆心为 半径 的圆.,四、 根据图形位置或形状变动分类讨论 例4 长方形ABCD中，|AB|=4，|BC|=8，在BC 边上取一点P，使|BP|=t，线段AP的垂直平分线与 长方形的边的交点为Q、R时，用t表示|QR|. 思维启迪 建立平面直角坐标系，设法求出点Q、 R的坐标，利用两点间的距离公式建模. 解 如图所示，分别以BC、AB所在的边为x、y轴 建立坐标系. 又AP的中点的坐标为,QR所在的直线方程为 由于t的取值范围的不同会导致Q、R落在长方形
13、 ABCD的不同边上，故需分类讨论： 当|PD|=|AD|=8时，易知 当 时,Q、R两点分别在AB、CD上, 对方程分别令x=0和x=8, 可得 这时 当 时,Q、R两点分别在AB、AD上，,对方程分别令x=0和y=4, 可得 这时 当4t8时，Q、R两点分别在BC、AD上， 对方程分别令y=0和y=4, 可得 这时 综上所述，当 时，,当 时， 当4t8时， 探究提高 一般由图形的位置或形状变动引发的 讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问 题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由 斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位 置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中 点、线、面的位
14、置变动等.,变式训练4 如图所示，矩形ABCD中，AB=1， BC=a（a0）,PA平面AC,且PA=1, 问BC边上是否存在点Q,使得PQQD 并说明理由. 解 设AQ=x(x0),则AQ2=x2, QD2=QC2+CD2= AD2=a2. 若PQQD,则AQDQ 在RtAQD中,由勾股定理得: 即x4-a2x2+a2=0,令t=x2, 则t2-a2t+a2=0(*)且t0,a0, t1t2=a20,t1+t2=a20. 方程(*)的判别式=a2(a2-4). (1)当0时,即a2时,方程(*)有两个相异正实根.综上所述,当02时,BC边上存在点Q,使PQQD.,规律方法总结 1.分类讨论时
15、首先要找准分类的依据，且做到“不重复”“不遗漏”，如子集问题，注意空集是任何集合的子集. 2.分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并. 3.常见几种分类讨论：指数（对数）函数，根据底数a1与0a1讨论；一元二次函数根据其对称轴位置来讨论；一元二次方程根据二次项系数和判别式讨论；直线方程的问题要分斜率是否存在来讨论；应用问题从实际出发讨论等.,一、选择题 1.集合A=x|x|4,xR,B=x|x-3|0时，欲使BA，则,B,2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩 形，则它的体积为 （ ）A.
16、B. C. D. 解析 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种 情况. 3.定义运算x*y= 若|m-1|*m=|m-1|, 则m的取值范围是 （ ）A. B.m1 C. D.m0,D,A,4.若方程 表示双曲线，则它的焦点坐标 为 （ ）A. B. C. D.由k的取值确定 解析 若焦点在x轴上，则 即k4，且 若焦点在y轴上，则 即k-4,且 故选D,D,5.如果函数f（x）=ax（ax-3a2-1）（a0且a1）在 区间0,+)上是增函数,那么实数a的取值范围 是 （ ）A. B. C. D. 解析 令ax=t,则y=t2-(3a2+1)t， 对称轴 当01时,ax1不满足题设条件,故选B.,B,二、填空题 6.若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满 足f
