分数阶Fourier变换课件

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1、电信工程学院,分数阶FROURIER变换,本小组人员 李耀民 张陆勇 张风山 朱雪田 张咏梅 王春光 邓天乐 孙华明,电信工程学院,分数阶FROURIER变换,目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例,电信工程学院,相关术语,FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Shor

2、t-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号,电信工程学院,主要内容,1 问题的提出 2 FRFT的基本概念 3 FRFT的基本性质 4 一些常见信号的FRFT 5 FRFT的计算方法 6 FRFT的二维表示 7 FRFT的应用 8 FRFT域内的算子 9 我的想法,电信工程学院,一.问题的提出,信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波,电信工程学院,一.问题的提出,有用信号为 高斯信号e-(t-4)2 干扰为 线性调频信号e-jt2.,电信工程学院,一.问题的提出,信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性

3、实值白噪声.,电信工程学院,一.问题的提出,LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,传统Fourier变换的定义及性质 两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /2 g(t)= G(w) ejwtdw /2 G(w)=F(g(t) F2(g(t)=FF(g(t) =g(-t) F3(g(t)=G(-w) F4(g(t)=FF3(g(t) =g(t),电信工程学院,二.FRFT的基本概念,分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/

4、2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 零旋转 R0=I 与Fourier变换等价 R /2=F 旋转相加性 RR=R + 恒等变换 R2 =I,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: 其中核函数为: =p/2,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,核函数具有以下性质: 1.互换性 2. 3. 4.积分相加性（完备性） 5.正交性,电信工程学院,二.

5、FRFT的基本概念,广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,方波的

6、几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部 虚线: 虚部,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1),电信工程学院,二.FRFT的基本概念,信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改

7、变信号的形式，并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一定的条件。 比如， （1）FFT与IFFT(无条件） G(w)= g(t) e-jwtdt /2 g(t)= G(w) ejwtdw /2,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,（2）STFT: ISTFT: 条件： (3) FRFT: IFRFT: FRFT为无条件的.,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,传统Fourier变换的性质 线性 Fanf(t)= an Ff(t) 卷积定理 Ff(t)*g(t)=Ff(t)Fg(t) 时域相关性定

8、理 Rf1f2=f1()f2*(t- )d FRf1f2=Ff1(t)F *f2 (t) 4. 时移特性 Ff(t-t0)=Ff(t)e-jwt0 5. 频移特性 Ff(t) ejwt0=F(w-w0) 6. 尺度变换特性 Ff(at)=F(w/a)/|a| 7. Parseval关系 |f(t)|2dt=|F(f)|2df 8. 时域微分特性 Fdf(t)/dt=jwF(w) 9. 频域微分特性 F(-jw)f(t)=dF(w)/dw,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,线性性质 Fpc1f(t)+c2g(t)=c1Fpf(t)+c2Fpg(t) FRFT为线性变换,因而它

9、满足叠加原理,这是一个非常好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满足二次叠加原理，它的时频分布存在自频率分布（信号项）和互频率分布（交叉项），许多文章都在怎么消除掉交叉项提出看法，FRFT的线性叠加原理保证了仅有信号项，没有交差项，所以用它实现滤波具有更好的效果。,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,旋转相加性 FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止。 两个特例：pp+1对应FFT pp-1对应IFFT,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,连续性 当p1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性 Fc1p1+c2p2f(t)=Fc

10、1p1Fc2p2f(t)=Fc2p2Fc1p1f(t) 由旋转相加性，可见连续性显然。 自成像 FRFT为p/4取余的恒等运算,因而p的取值范围可以为-2,+2或0,4.,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,卷积 函数f和g在p分数阶的卷积称为分数阶卷积 P域的卷积对应于p+1或p-1域的乘积 相乘 函数f和g在p分数阶的乘积称为分数阶乘积 P域的乘积对应于p+1或p-1域的卷积,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,时移特性(FT: f(t-t0)=Ff(t)e-jwt0 ) 时间函数x(t)时延后，x(t- )的分数阶Fourier变换 频移特性(FT:

11、Ff(t) ejwt0=F(w-w0) ) 时间函数x(t)乘以一个频移函数后的FRFT.,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,尺度特性( FT: Ff(at)=F(w/a)/|a| ) =arctan(c2tan)=q/2 时间函数x(t)的时间尺度发生变化时，FRFT的变化情况。在传统的Fourier变换中，时间变量t的变化只是使其频谱的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化，而在FRFT中，时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度的变化，更重要的是旋转角度也发生变化。,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,尺度特性的图示说明,电信工程学院,

12、三.分数阶Fourier变换的基本性质,Parseval关系 定理：Parseval等式成立的充要条件为E=en:nN 为Hilbert空间中的标准正交系。 由FRFT核函数的性质可知，它显然满足定理中要求 的条件，所以，在FRFT中， Parseval等式成立 FRFT的能量保持性： 信号x(t)的功率谱|X(w)|2 信号x(t)的分数阶功率谱|Xp(u)|2,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,倍乘性 其中D=d/dt为微分算子 微分性 混合乘积律,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,移位律 指数律,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质

13、,分数阶Fourier变换的一些典型性质,电信工程学院,四 、 一些常见信号的FRFT变换,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,信号分解法 ( =p/2 =csc ) 步骤: 将函数f(x)与线性调频函数相乘,得到g(x) 将g(x)与一线性调频函数作卷积,得到g(x) 将g(x)与线性调频函数相乘,得到f(x)的分数阶Fourier变换,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,通过计算离散FRFT的核矩阵,再利用FFT来计算离散FRFT。 文献 B. Santhanam and J.H McClellan. The discrete rotational Fo

14、urier transform. IEEE transactions on Signal Processing,1996,42(4):994-998,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,利用矩阵的特征值和特征向量来计算离散FRFT 文献 1.Soo-Chang Pei,Min-Hung Yeh. Two dimentional discrete fractional Fourier transformj. IEEE,Signal Processing,1998,67,99-108 2.Soo-Chang Pei,Min-Huang Yeh and Chien-Cheng Ts

15、eng,Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections. IEEE transactions on Processing,1999,47(5):1335-1347,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,快速FRFT算法 该算法避开特征值与特征向量的匹配问题,具有易理 解,易实现,效果好等优点,并且在改变分数阶幂时,不需 要重新计算整个过程,只需计算一个对角矩阵. 文献 平先军,陶然,周思永,王越 一种新的分数阶傅立叶变换快速算法 电子学报 2001(3) 406-408,电信工程学院,六

16、. FRFT的二维平面表示,时频分布的历史和现状 时频分布的思想始于二十一世纪四十年代。 1946年Gabor提出了Garbor变换，为时频领域的信号分析打下了理论基础。 为更好的理解语音信号，R.K.Potter等在1947年首次提出了一种时频分布方法STFT,并将 其绝对值的平方称为“声音频谱图”，又称谱图。 1948年，J.Ville将Wigner在1932年提出的Wigner分布引入到信号处理领域，提出了著名 的Wigner- Ville分布 时频分布可以分为以下几类： 线性时频表示：Gabor变换、STFT、小波变换、FRFT Cohen类双线性时频分布：Wigner- Ville分布、采用核函数加权的Cohen类双线性时频分布 仿射类双线性时间-尺度分布