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1、第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,五、小结,例1,考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面.,即: (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2,称方程(1)为球面的标准方程.,M,R,特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2,对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.,平面、直线在平面解析几何中被看成是动点的轨迹,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,一、曲面方程的概念,曲面方程的概念,定义: 若曲面S与三元方程F (x, y,
2、z) =0有如下关系:,(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;,(2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;,那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.,根据题意有,化简得所求方程,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,例1、例3。（讨论旋转曲面）,例2 （讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,播放
3、,二、旋转曲面,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转
4、曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周
5、所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S，,C,S,M,M1,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,旋转曲面的方程,.,设M1(0, y1, z1)是C上任意一点,当C绕 z 轴旋转而M1随之转到任意点M (x, y, z)时, 有,将 代入,则有f( y1, z1) = 0。,求S的方程。,方程,例5: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.,解: 将 y 用 代入直线方程, 得,平方得:,z2 = a2 (
6、 x2 + y2 ),该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.,例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,x,0,双叶旋转双曲面,绕 x 轴一周,x,0,.,绕 x 轴一周,双叶旋转双曲面,x,0,.,双叶旋转双曲面,.,绕 x 轴一周,a,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,a,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,单叶旋转双曲面,a,.,.,.,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,旋转椭球面,a,b,c,椭球面,o,o,.,y,.,o,x,z,.,旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,方程,小结：,播放,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动
7、的直线 所形成的曲面称为柱面.,三、柱面,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直
8、线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,播放,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.,三、柱面,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,a,b,椭圆柱面,y,o,双曲柱面,双曲柱面,平面,x+y=1,抛物柱面,
9、二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,四、二次曲面,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.,几种常见二次曲面.,(1) 椭球面,1 用平面z = 0去截割, 得椭圆,类似地,平面 x=k (|k|a) 与椭球面的交线也是椭圆；,椭球面,平面 y=k (|k|b) 与椭球面的交线也是
10、椭圆；,1选择坐标系；,2画坐标面与曲面的交线；,3画出轮廓线。,椭球面的画法：,椭球面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,截面上圆的方程,球面,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,(2) 椭圆抛物面:,（p 与q 同号）,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,.,(2) 椭圆抛物面:,（p 与q 同号）,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,抛物面,与平面
11、的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,抛物面,（ 与 同号）,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,抛物面,（ 与 同号）,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕z轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,用z = a截曲面,用x = 0截曲面,用y = b截曲面,截痕法,（马鞍面）,双曲抛物面,（ 与 同号）,截痕法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,用z =
12、a截曲面,用x = 0截曲面,用y = b截曲面,（ 与 同号）,截痕法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,用z = a截曲面,用x = 0截曲面,用y = b截曲面,（ 与 同号）,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,(3)双曲面:,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,单叶双曲面,(3)双曲面:,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,单叶双曲面,(3)双曲面:,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,a,a,作图练习,a,a,作图练习,.,a,a,学画草图,作图练习,.,a,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及求法.,柱面的概念(母线、准线).,五、小结,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,
