传热学-第4章课件

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1、第四章导热问题的数值解法,第四章导热问题的数值解法,2,1 、重点内容： 掌握导热问题数值解法的基本思路； 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。,第四章导热问题的数值解法,3,求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：,（1）有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法,第四章导热问题的数值解法,4,分析解法与数值解法的异同点： 相同点：根本目的是相同

2、的，即确定 t=f(x ， y ， z) 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。,第四章导热问题的数值解法,5,数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。,第四章导热问题的数值解法,6,4-0 引言,求解导热问题的三种基本方法

3、：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；,第四章导热问题的数值解法,7,(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验

4、和数值计算提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见,第四章导热问题的数值解法,8,(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）,第四章导热问题的数值解法,9,4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立

5、,1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程,第四章导热问题的数值解法,10,二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题,2 例题条件,（a）,第四章导热问题的数值解法,11,3 基本概念：网格线、节点、步长、控制容积、界面线,二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题,（b）,网格线:与坐标轴平行的线 节点: 网格线交点. 步长：相邻两节点间的距离 控制容积: 节点代表的区域 ,其边界位于两点之间. 界面线: 控制容积的边界线.,网格划分方法: practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 节点编号: 从小往大排,第四章导热问题的数值解法,12,

6、如（a）图所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：,（1）建立控制方程及定解条件,针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：,第四章导热问题的数值解法,13,（2）区域离散化（确立节点）,第四章导热问题的数值解法,14,（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）,节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下： 首先划分各节点的类型； 其次，建立节点离散方程； 最后，代数方程组的形成。,对节点 (m,n) 的代数方程，当 x=y 时，有：,第四章导热问题的数值解法,15,（4） 设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分

7、法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。,第四章导热问题的数值解法,16,（5） 求解代数方程组,求解时遇到的问题： 线性； 非线性； 收敛性等。 如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一个封闭的代数方程组。 1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；,第四章导热问题的数值解法,17,2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数 在整个求解过程中不断更新。 3 ）是否收敛判断：是指

8、用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。,第四章导热问题的数值解法,18,（6） 解的分析,通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。,第四章导热问题的数值解法,19,4 建立离散方程的常用方法：,(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法),第四章导热问题的数值解法,20,(1) 泰勒级数展开法,根据泰勒级数展开

9、式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n 用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n,第四章导热问题的数值解法,21,若取上面式右边的前三项，并将式和式相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 同样可得：,截断误差 未明确写出的级数余项中的X的最低阶数为2,第四章导热问题的数值解法,22,对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 其节点方程为：,第四章导热问题的数值解法,23,(2) 控制容积平衡法(热平衡法),基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定

10、律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量 即： 单位：,第四章导热问题的数值解法,24,即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量,注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用,第四章导热问题的数值解法,25,稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量0,内部节点：,第四章导热问题的数值解法,26,以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：,可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假

11、定温度呈分段线性分布，如图所示,第四章导热问题的数值解法,27,(m,n),(m-1,n),(m+1,n),tm,n,tm-1,n,tm+1,n,可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度分布 此时：,内热源：,第四章导热问题的数值解法,28,时：,第四章导热问题的数值解法,29,无内热源时：,变为：,重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。,第四章导热问题的数值解法,30,说明： 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的； 热平衡法概念清晰，过程简捷； 热平衡法与建立微分方程的思路与过程

12、一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体。,第四章导热问题的数值解法,31,4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解,对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。 而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。 为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源强度。,第四章导热问题的数值解法,32

13、,1.边界节点离散方程的建立：,(1) 平直边界上的节点,第四章导热问题的数值解法,33,(2) 外部角点,第四章导热问题的数值解法,34,(3) 内部角点,第四章导热问题的数值解法,35,讨论关于边界热流密度的三种情况：,（1）绝热边界,即令上式 即可。,（2） 值不为零,流入元体， 取正，流出元体， 取负使用上述公式,（3）对流边界,此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此项中的 与等号前的 合并。对于 的情形有,第四章导热问题的数值解法,36,（a）平直边界,（b）外部角点,（c）内部角点,第四章导热问题的数值解法,37,2.节点方程组的求解,写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未

14、知节点温度，n个代数方程式：,代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法,第四章导热问题的数值解法,38,通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法,缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）,直接解法,第四章导热问题的数值解法,39,迭代解法,先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等 高斯-赛德

15、尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值,第四章导热问题的数值解法,40,迭代法目前应用较多的是：,1 ）高斯赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。,第四章导热问题的数值解法,41,在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）,例如：根据第 k 次迭代的数值,可以求得节点温度：,第四章导热问题的数值解法,42,判断迭代是否收敛的准则：,当有接近于零的t 时，第三个较好,第四章导热问题的数值解法,43,设有一三元方程组：,其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。,第

16、四章导热问题的数值解法,44,采用高斯赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程：,第四章导热问题的数值解法,45,（2）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用最新值代入。,（3）以新的初场 重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。,第四章导热问题的数值解法,46,说明： 1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散；,2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。,第四章导热问题的数值解法,47,3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量