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1、1,二、第二类换元法（变量代换法）,第二节,一、第一类换元法（凑微分法）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法（1）,第四章,2,引例. 求,解: 令,则,故,原式 =,分析:,我们“凑”出一个微分形式：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代回原变量 x,积分就化为,即 =,若积分形如,换元,分析：即,一般地,则,(或直接凑出微分!),3,一、第一类换元法(凑微分法),定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),使用原则是：换元后的积分,基本积分公式获得.,积分得到以后再代回原始变量 x.,(熟练后可不写中间变量直接凑微分!),好求，比如可由,4,例1 求,解:,类似
2、可得,两个常用公式,直接凑微分,二倍角公式降次数,5,例2. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时，“凑微分”如下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中间变量,最后要代回原变量 x,简单时可省略.,6,例3. 求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凑微分换元,凑微分时拿走了一个a,(提出常数变出1!),(联想已知公式!),(或直接 凑微分!),7,例4. 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(直接配元),(提出常数变出1!),8,例5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,凑微分,用公式,9,例6. 求,解
3、:, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拆项积分技巧,(因式分解加减项!),10,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凑微分,直接凑微分,(降低次数变平方!),(完全平方!),11,例9. 求,解法1 加减拆项,解法2乘除变形,两法结果貌似不同，实则等价！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上下同乘以,12,例10A. 求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有负号,变形后凑微分,同乘余弦,(上凑微分下变形!),(因式分解!),13,解法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凑微分,利用积分表公式,(联想相关公式
4、!),乘除,14,例10 B.求,解:,因为,所以该不定积分又可表为：,二倍角公式,三角公式,同乘,二倍角公式,15,例11. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,凑微分-拆项-再凑微分,凑微分时拿走了一个x,用公式,(加减拆项!),16,练习. 求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,(加减拆项!),(乘除变形!),同乘,(提取最高次项!),17,练习 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二倍角公式 好降低次数,再用二倍角公式,凑微分,18,常用的几种配元凑微分形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,练习. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:此形式已经暗示定义域 x 0 !,20,作业,P129习题4.2所有题目（两次课业）,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
