《A-76-12高阶微分方程资料讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A-76-12高阶微分方程资料讲解（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,高等数学 电子教案,高等数学,A,2,6. 可降阶的高阶微分方程,3,二阶及二阶以上的微分方程称为,高阶微分方程。,二阶微分方程的一般形式：,主要介绍：,(1) 可降阶的二阶微分方程；,(2) 二阶线性微分方程；,(3) 二阶欧拉（Euler）方程。,5,二、,方程中不出现未知函数 y .,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,6,例题讨论,1.,求解下列方程：,解：,7,三、,特点：,方程右边不 (明显) 出现自变量 x .,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,可分离变量,8,例题讨论,例1：,解：,9
2、,课外作业（可降阶）,7 6 (A),1（2，4，6，8 ( 4 改成 x )）,2（2，4），3（2，3，5）,3,(P. 161 ),7 6 (B),(P. 162 ),10,7. 高阶线性微分方程,11,7. 高阶线性微分方程,未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称为线性微分方程。,n 阶线性微分方程的一般形式：,称其为齐次线性微分方程；,称其为非齐次线性微分方程。,12,一、线性微分方程的解的结构,二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),引进算子 L ：,则 (1),(2),性质,(1) L C y = C L y C 常数,(2) L y1 + y2 = L
3、 y1 +L y2 ,13,定理1：,设 y1, y2 是 L y = 0 (1) 的两个解，,也是(1)的解，其中,C1,C2 为任意常数。,满足 (1) , 即得证。,问题：,是否就是(1)的通解？,证：,由题设，,则, L y = 0 (1) 的解的叠加原理,14,定义：,n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数,使得当 x 在该区间内取值时，有,成立，就称这,n 个函数在区间 I 内线性相关；否则，称为,线性无关。,例：,这三个函数在整个数轴,上是线性相关的。,15,定理2：,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设 y1与 y2 是 (1) 的两个线性无关的特解，,则,(C1,
4、C2 为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解。,说明：,10. 二阶微分方程的通解必须有两个任意常数。,20. y1与 y2 是 (1) 的两个解，且线性无关。,16,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程 (2) 的,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解 (又称为(2)的余函数), 则,是非齐次线性方程 (2) 的通解。,证：,得证。,一个特解，,( 形式(1) ),非齐次(2)通解 = 对应齐次(1)通解(2)特解,17,定理4：,(广义迭加原理),( P. 372 ),18,课外作业,7 7（A）,1（2，5），2，4,(P. 172
5、 ),7 7（B）,1，3，4*,19,8. 常系数齐次线性微分方程,20,8.二阶常系数齐次线性微分方程,二阶线性微分方程：,齐次：,非齐次：,(1),(2),21,一、特征方程,讨论二阶常系数齐次线性微分方程,(1),由(1)的特点，,用指数函数,求其通解。,进行尝试，r = ?,是方程 (1) 的解。,代入方程：,(*) 称为 (1) 的特征方程。,P、q 为常数 ，,22,特点：, (*) 中 r 2 , r, r 0 的系数就是 (1),一元二次方程 (*) 的根,微分方程,(1),特征方程,是两个不相等的实根；,是两个相等的实根；,是一对共轭复根，,23,二、特征方程的根与微分方程
6、 解的关系,是齐次线性微分方程(1)的解，,常数，,即 y1, y2 线性无关。由定理二，,(1) 的通解：,(1) 当,24,(2) 当,y1, y2 线性相关，,另找 y2 ，使与 y1 线性无关。,代入,是否是(1)的解？,满足方程。,(1) 的通解：,25,(3) 当,由欧拉公式：,再由解的叠加原理，,也是(1)的解，, (1) 的通解：,(P. 275),26,通解的步骤：,写出对应的特征方程：,(1),(2),(3),求出特征根：,根据下表写出方程 (1) 的通解：,(1),27,例题讨论,例1：,解：,28,三、推广到 n 阶常系数线性微分方程中,n 阶常系数线性微分方程的一般形
7、式：,解法：,解此一元 n 次代数方程得 n 个根，,根据每个根的情况得到对应微分方程通解 中一项 yi ( i = 1, 2, , n ) ,写出特征方程：,29,30,课外作业,7 8 (A),1（2，4，5，7），,2（2，4，5）,(P. 180 ),7 8 (B),(P. 181 ),1（1，2，5）,31,9. 常系数非齐次线性微分方程,32,9、 二阶常系数非齐次线性微分方程,一般形式：,（ p, q 为常数 ）,对应齐次微分方程：,其特征方程：,(1),(*),又由非齐次(2)的通解结构知：,如何求,?,对两种常见的 f (x) , 利用待定系数法求,33,分析：,f (x)
8、是m 次多项式与指数函数的乘积，,推测,其中 Q(x) 是待定的 x 的多项式。,为代入方程，,34,（）,即为 Q(x) 所需满足的条件。,分三种情况讨论：,不是 特征方程,的根。,要使（）成立，,必须 Q(x) 与 Pm(x) 同次，,35,（）,是 特征方程,的单根。,（）,要使（）成立，必须,36,（）,（）,是 特征方程,的二重根。,要使（）成立，必须,37,求其特解，, 当 不是特征方程的根时，取, 当 是特征方程的单根时，取, 当 是特征方程的二重根时，取,k = 0;,k = 1;,k = 2.,38,例题讨论,例1：,求下列各方程的通解：,1.,解：, 求出对应齐次微分方程的
9、通解, 求原方程的特解,39,二、,则由欧拉公式及类似前述分析，,的特解为：,当,不是特征方程的根时，,取 k = 0 ;,当,是特征方程的根时，,取 k = 1.,特征方程,40,例题讨论,例：,求下列微分方程的通解：,1.,41,课外作业,11 9 (A),1（2，3，4，6），2（2，5），6，,(一),(二),1（8，10，13），2（1）,11 9 (B),1，5,42,10. 欧拉方程,43,10. 欧拉方程,对有些特殊的变系数线性微分方程，可以通过变量代换化成常系数线性微分方程，从而求得其解。,欧拉方程就是其中一种。,形如：,的方程称为欧拉方程。,44,当 x 0 时(x 0 时
10、类似讨论) ,作变换，,代入方程，,同理，,解法：,45,引进算子：,= D y ,一般：,46,得到以 t 为自变量的常系数线性微分方程，,求出方程通解，,回代，即得,原欧拉方程的通解。,最后用,方程变形为,47,例题讨论,例1：,满足初始条件,48,课外作业,7 9 (A),1（2，3，6）, 3（1，3，4）,1（5）,( P. 190 ),7 9 (B),( P. 191 ),49,定义与方程 索引,可降阶的二阶微分方程,一、,方程右边仅含自变量 x .,两边逐次积分 n 次,求解法：,特点：,逐次积分法,50,二、,方程中不出现未知函数 y .,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,
11、为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,51,三、,特点：,方程右边不 (明显) 出现自变量 x .,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,可分离变量,52,二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),定理1：,设 y1, y2 是 L y = 0 (1) 的两个解，,也是(1)的解，其中,C1,C2 为任意常数。,则, L y = 0 (1) 的解的叠加原理,53,定理2：,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设 y1与 y2 是 (1) 的两个线性无关的特解，,则,(C1, C2 为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程
12、(1) 的通解。,定义：,n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数,使得当 x 在该区间内取值时，有,成立，就称这,n 个函数在区间 I 内线性相关；否则，称为,线性无关。,54,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程 (2) 的,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解 (又称为(2)的余函数), 则,是非齐次线性方程 (2) 的通解。,一个特解，,( 形式(1) ),非齐次(2)通解 = 对应齐次(1)通解(2)特解,55,定理4：,(广义迭加原理),( P. 372 ),56,二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程：,特征方程的根,微分方程的通解,57,
13、n 阶常系数线性微分方程的一般形式：,特征方程,58,59,二阶常系数非齐次线性微分方程,特征方程, 当 不是特征方程的根时，取, 当 是特征方程的单根时，取, 当 是特征方程的二重根时，取,k = 0;,k = 1;,k = 2.,60,二阶常系数非齐次线性微分方程,特征方程,当,不是特征方程的根时，,取 k = 0 ;,当,是特征方程的根时，,取 k = 1.,61,欧拉方程,解法：,方程变形为,二阶欧拉方程：,回代,最后用,为以 t 为自变量的常系数线性微分方程，,特征方程,62,版权所有，署名页不得随意改动与删除,提供教案并制作,吴东红 俞国胜 王培康 崔洪泉,上海大学教学辅助方法 (手段) 高等数学项目,2004 . 8 .,项目组成员,吴东红,
