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1、1 高斯散度定理（Gauss）,证明：,上式可写成,取 的极限，可得,1.6 矢量场的积分定理,该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,2 斯托克斯定理(Stockes),证明：,取 的极限，可得,上式可写成,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域 S 中场F 与边界 l 上的场F 之间的关系,在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理 是两个非常重要的公式。,3 格林公式,设,应用高斯定理,将 和 的位置交换，得,（2）,（1）式与（2）式相减，即得格林第二公式,1.7 赫姆霍兹定理,1、矢量场的类型,无旋场、无散
2、场、调和场和一般矢量场,（1）无旋场的旋度恒为零，即,无旋场在其定义域内沿任意闭合路径 l 的环量恒为零，无旋场就是保守场。,无旋场环量为零的特性也可陈述为：无旋场的线积分与积分起点和终点的位置有关，而与积分路径无关。,证明：,即,由 可以定义一个标量场,这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。,令,2 = b,得 的微分方程,负号意指某点 的方向为该处 取得最大减小率的方向,可得无散场的二阶偏微分方程,由上式可定义一个矢量位函数 A(r),（2）无散场的散度恒为零，即,令,（3）调和场在定义域内的旋度与散度均为零,调和场可简单看成是无旋场的散度也为零的特例，因此亦可引入标量位函数 ，,2 =
3、0,调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程,令 b = 0 得,（4）一般矢量场的旋度和散度均不为零,2、赫姆霍兹定理,在闭面S 所包围的有限区域(单连域或多连域)V 内 ，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界 S 上的法向分量 Fn 或切向分量 Ft ，则 V 内是唯一确定的。,（1） 唯一性定理：,用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个 和 ，然后再论证这两个矢量场是相同的，即 。令,在V 内，有,在边界S上，则有,或,由 可引入标量函数 (r),且有 2 = 0 (在V 内）,或,对矢量函数 应用格林第一公式，并考虑到在V 内有 2 = 0，,对于条件,对于条件,
4、故同样得到,由于 的非负性， 意味着 = 0， 即,赫姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。,已知,例：判断矢量场的性质,（2） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r) ，可以分解为无旋的Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即,F(r) = Fi(r) + Fs(r),设矢量场F(r)的旋度和散度分别为,可得,因此，一般矢量场可用 和 表示为,1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f (x,y)，则称这个场为平行平面场。,2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即 F= f(r,)，则称这个场为轴对称场。,3、三种特殊形式的场,3.球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F= f(r)，则称这个场为球面对称场。,1.8 圆柱坐标系与球坐标系,作业,1.15， 1.17,
