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1、第四章 正态分布,数学与信息技术系,第一节 正态分布的概率密度 与分布函数,本章我们讨论概率论与数理统计中最常用、最重要的一种连续型随机变量的分布正态分布,实例1 零件的尺寸(P49例) 在自动机床加工制造零件的过程中，我们周期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。设共抽取250个零件，测得零件尺寸与规定尺寸的偏差如下表,现实世界中有许多事件服从或者近似服从这一分布，如：,其直方图如下图,实例2 年降雨量问题，我们用上海九十九年年降雨量的数据画出的频率直方图。,年降雨量在1100附近的较多，降雨量特多或者特少的情形只是少数年份,实例3 (某大学大学生)下图是用某大学大学生的身高
2、的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的曲线 具有“两头低，中间高，左右对称”,除了我们在前面介绍过的零件的尺寸、年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从这样一种分布正态分布.,复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些？,2. 概率分布密度或概率密度：,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量X的 概率密度函数的充要条件.,分布函数与概率密度的内在联系：,或者,设 定义如下,它能成为某个随机变量的概率密度吗？,回答是肯定的。这是因为,(I)、正态分布的定义,显然
3、 满足，,下面验证 也成立,其实，此时只要令 就有,至于 的证明参见华东师大版数学分析 下册P187例7 ，或者利用函数的性质.,.,y=f (x)所确定的曲线叫作正态分布曲线.,若随机变量 X 的概率密度为,其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布 (高斯分布).,由此我们给出如下的定义,(II)、正态分布 分布曲线的特点,正态分布的分布曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头低，中间高，左右对称”.,令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,f (+c)=f (-c),且 f (+c) f (), f (-c)f (),故f(x)以为
4、对称轴，并在x=处达到最大值,因为,当x 时，f(x) 0,这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。,这是数学分析的内容，如果忘记了，课下再复习一下。华东师大版数学分析上册P152页,用求导的方法可以证明，,x = ,为f (x)的两个拐点的横坐标。,对,固定， 变化时的图形,决定了图形的中心位置,固定， 变化时的图形,决定了图形中峰的陡峭程度.,(III) 、 正态分布的分布函数,因为X 即 故,(IV)、标准正态分布,其概率密度和分布函数常用 和 表示：,(x)的一个重要性质,定理,(V)、标准正态分布与一般正态分布的关系：,事实上，由公式,其中Y =
5、a+bX， 可知当 时有,（VI）、利用正态分布表进行计算,若 XN(0,1),则,当a0时，可以通过附录正态分布函数数值表(表2)查得 ;当a,b中至少有一个为负数(不妨设a为负数)时, 则没办法直接查表到 ,这时可以先查得 ，然后利用公式可以， 求得,这说明，X的取值几乎全部集中在(-3,3)区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,（VII）、3 准则,由标准正态分布与一般正态分布
6、的关系，若,时，,实际可能的取值区间，这在统计学上称作,可以认为，X 的取值几乎全部集中在区间,因而根据小概率事件的实际不可能性原理，,准则” （三倍标准差原则）,例1 （1）假设某地区成年男性的身高（单 位：cm）XN(170,7.692)，求该地区成年 男性的身高超过175cm的概率。,解: (1) 根据假设XN(170,7.692)，则,故事件X175的概率为,P (X175)=,=0.2578,解: (2) 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或,下面我们来求满足上式的最小的h.,（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高
7、度应如何确定?,P(X h) 0.99，,因为XN(170,7.692),查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+17.92 188,设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,例2 设随机变量X服从标准正态分布 ， 求随机变量函数Y=X2的概率密度。,解： FY(y)=P(Yy)= P(X2 y),当y0时，显然 FY(y)=0,分析: 要求Y的密度函数，只要求出其分布,函数FY(y)即可,被积函数 为偶函数,当y0时， FY(y)= P( ),所以，Y的分布函数为,故，Y的概率密度为,所得分布称为自由度为1的 分布(参看5.3),小结： 这一讲，我们介绍了正态分布(一般正态分布以及标准正态分布)概率密度、分布函数及相关性质，以及如何将一般正态分布转化为标准正态分布进行计算等问题,
