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1、1,主要内容：,第六章 微分方程 第五节 二阶常系数齐次微分方程,一、二阶线性微分方程举例; 二、二阶线性微分方程的解的结构; 三、二阶常系数齐次线性微分方程.,2,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的,例1 设弹簧的弹性系数为c, 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为m. 则有,自由振动的微分方程,3,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为
2、非齐次的,例1 设弹簧的弹性系数为c, 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为m.,强迫振动的微分方程,如果振动物体还受到铅直干扰力F=Hsinpt的作用, 则有,4,例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路, 其中R、L、及C为常数, 电源电动势是时间t的函数: EEmsinwt, 这里Em及w也是常数.,设电路中的电流为i(t), 电容器极板上的电量为q(t), 两极板间的电压为uc, 自感电动势为EL.,由电学知道,根据回路电压定律, 得,5,设电路中的电流为i(t), 电容器极板上的电量为q(t), 两极板间的电压为uc, 自感电动势为EL.,根据回路电
3、压定律, 得,这就是串联电路的振荡方程.,如果电容器经充电后撤去外电源(E0), 则上述成为,例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路, 其中R、L、及C为常数, 电源电动势是时间t的函数: EEmsinwt, 这里Em及w也是常数.,由电学知道,6,共振现象,当 pk 时, 方程通解为,当 p=k 时, 方程通解为,无阻尼强迫振动方程,当干扰力的角频率 p 等于振动系统的固有频率 k 时,齐次通解,自由振动,非齐次特解,强迫振动,强迫振动的振幅,随时间 t 的增大而无限增大.,7,二、二阶线性微分方程的解的结构,简要证明,这是因为,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函
4、数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2,000,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),8,定理2(齐次方程的通解的结构),常数变易法,设函数 y1(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的一个解,设 yu(x)y1(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的解, 则,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+
5、Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,注: 函数y1(x)与y2(x) 线性无关, 是指,9,举例,已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零 所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1cos xC2sin x,举例,已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y-xy+y=0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所以y1=x与y2=ex在( )内是线性无关的 因此y1=x与y2
6、=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1xC2ex,定理2(齐次方程的通解的结构),如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,注: 函数y1(x)与y2(x) 线性无关, 是指,10,举例,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解,定理3(非齐次方程的通解的结构),设y*(x)是方
7、程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么 yY(x)y*(x) 是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,11,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),简要证明 这是因为 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2* =y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* =f1(x)f2(x),设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x) 的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x) 的特解,12,三、二阶
8、常系数齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解,13,二阶常系数齐次线性微分方程,猜测 erx 是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解,分析,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程,14,特征方程的根与通解的关系,有两个不相等的实根
9、 r1、r2,简要证明:,这是因为,15,有两个不相等的实根 r1、r2,有两个相等的实根 r1r2,特征方程的根与通解的关系,提示:,16,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,设 y1e(i)x 和 y2e(i)x , 则,提示:,欧拉公式:,17,第一步 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.,求y+py+qy=0的通解的步骤:,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共
10、轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,18,因此微分方程的通解为yC1exC2e3x,例1 求微分方程y2y3y0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r30,特征方程有两个不相等的实根r11 r23,即(r1)(r3)0,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,19,特征方程有两个相等的实根r1r21,例2 求方程y2yy0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r10,即(r1)20,因此微分方程的通解为
11、yC1ex C2xex,即y(C1C2x)ex,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,20,r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x),例3 求微分方程y2y5y 0的通解,解,微分方程的特征方程为,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,21,课后练习 P331: 2、3、4； P340：1、2、3.,
