《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十七 2.3.2.2 精讲优练课型 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十七 2.3.2.2 精讲优练课型 Word版含答案（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时提升作业 十七抛物线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2
2、.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.213B.215C.217D.219【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由y2=8x,y=-2x+2,得x2-4x+1=0,所以x1+x2=4,x1x2=1.所以|AB|=1+(-2)2(x1+x2)2-4x1x2=(1+4)(16-4)=512=215.3.(2016福州高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-2【解析
3、】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以y1-y2x1-x2=-1,所以y1-y2y12-y22=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为32,-12.代入y=x+b,可得b=-2.4.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入
4、抛物线方程得:y12=2px1,y22=2px2,-得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2所以所求抛物线的准线方程为x=-1.5.(2016西安高二检测)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点
5、M,则由抛物线的定义可知:|MB|MB|+4x=x3x,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为60或120,即直线l的斜率为3.【误区警示】本题容易将倾斜角当作45而错选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.答案:0或17.(2016广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是.【解析】设与直线y=4x
6、-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.令=16-16b=0,解得b=1,所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.由4x2-4x+1=0,解得x=12,所以y=1,所求点为12,1.答案:12,18.(2016长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=12x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线y=12x+1的方程并消元,得:2x2-mx-2m=0,设直线y=12x+1与抛物线的交点坐标为(x
7、1,y1),(x2,y2),=(-m)2-42(-2m)=m2+16m0,解得m0或m0,即k0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则()A.x3=x1+x2B.x3=1x1+1x2C.x1x2=x1x3+x2x3D.x1x3=x2x3+x1x2【解析】选C.将y=kx+b代入x2=ya(a0),得ax2-kx-b=0,x1+x2=ka,x1x2=-ba,1x1+1x2=x1+x2x1x2=-kb.而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标x3=-bk,所以1x1+1x2=1x3,所以x1x2=x2x3+x1x3.2.(2016南宁高二检测)已知抛物
8、线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=()A.12B.22C.2D.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4.又y1+y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2.因为MAMB=0,所以(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即x1
9、x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.由得,k=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为.【解析】由y=x-3,y2=4x,得x2-10x+9=0,所以x1+x2=10,|y1-y2|=8,即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12,|PQ|=|y1-y2|=8,所以S梯形APQB=|AP|+|BQ|2|PQ|=48.答案:484.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,
10、则k=.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由y=k(x+2),y2=8x,消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,所以x1+x2=4(2-k2)k2,x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,又因为|AF|=2|BF|,所以x1+2=2x2+4,所以x1=2x2+2代入x1x2=4,得x22+x2-2=0,所以x2=1或-2(舍去),所以x1=4,所以4(2-k2)k2=5,所以k2=89,因为k0,所以k=223.则=2-4k24k2=164(1-k2)0符合题意.答案:223【补偿训练】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M
11、,N关于直线y=kx+92对称,则k的取值范围为.【解析】设M(x1,x12),N(x2,x22)关于直线y=kx+92对称,所以x12-x22x1-x2=-1k,即x1+x2=-1k.设MN的中点为(x0,y0),则x0=-12k,y0=k-12k+92=4.因中点在y=x2内,有4-12k2k2116,所以k14或k14或k-14三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016蚌埠高二检测)如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.【证明】设kAB=k(k0),因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以kAC=-k(k0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程组y=k(x-4)+2,y2=x,消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为A(4,2),B(xB,yB)的坐标是上述方程组的解,所以4xB=16k2-16k+4k2,即xB=4k2-4k+1k2.以-k代换xB中的k
