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1、单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆x29+y2k2=1与双曲线x2k-y23=1有相同的焦点,则k应满足的条件是()A.k3B.2k3C.k=2D.0k0,9-k2=k+3,所以k=2.2.(2016菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+y22=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为()A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为y2a2-x2b2=1,离心率为e,椭圆x2+
2、y22=1长轴端点为(0,2),所以a=2,又椭圆的离心率为12,所以双曲线的离心率为2,所以c=2,b=2,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016浙江高考)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.4.(2016潍坊高二检测)设椭圆x2m2+y2n2=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为()A.x212+y216=1B.x216
3、+y212=1C.x248+y264=1D.x264+y248=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以x2m2+y2n2=1的右焦点为(2,0),所以mn且c=2.又e=12=2m,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为x216+y212=1.【补偿训练】(2016成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程是()A.x25-y22=1B.x22-y25=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程x2a2-y2b2
4、=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,将y=x-1代入x2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=2a2a2-b2,则x1+x22=a2a2-b2=-23.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为x22-y25=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1上的点,F1,F2分别为椭圆的
5、两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D. c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016天津高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于
6、A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则p=()A.1B.32C.2D.3【解析】选C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=3x,不妨设A=-p2,3p2,B-p2,-3p2,则AB=3p,又三角形的高为p2,则SAOB=12p23p=3,即p2=4,又因为p0,所以p=2.7.(2016东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是()A.3B.23C.62D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=
7、|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即|-2+0-10|2=62.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-1B.-1C.2D.15【解析】选C.由y=kx-2,y2=8x,消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故=2-4k24=64(1+k)0,解得k-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又因为k-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略0而错选A.9.(2016邯郸高二检测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2
8、,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()A.y=22xB.y=2xC.y=12xD.y=2x【解析】选A.由题意得2b=2,2c=23,解得b=1,c=3,所以a=c2-b2=2,因此双曲线的方程为x22-y2=1,所以渐近线方程为y=22x.10.(2015福建高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知
9、四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以AF+BF=BF2+BF=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=45b45b1,所以e=1-b2a2=1-b241-14=32,又e(0,1),所以e0,32.11.(2016哈尔滨高二检测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以x
10、12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.两式相减得,x12-x22a2=y22-y12b2,即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k=y2-y1x2-x1=b2a2,又因为k=-1-01-3=12,所以b2a2=12,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为x218+y29=1.12.(2016宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8
11、xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F34p,0,A(0,2),My023p,y0,因为AFAM,所以kAFkAM=-1,即2-34p2-y0-y023p=-1,所以y02-8y0+16=0,所以y0=4,所以M163p,4,因为|MF|=5,所以5=34p-163p2+16,所以34p-163p2=9.所以3p4-163p=3或3p4-163p=-3,所以9p2-36p-64=0,或9p2+36p-64=0,由得p=-43(舍),p=163.由得p=43,p=-163舍,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(
12、本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为22,则mn=.【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1又因为y2-y1x2-x1=-1,所以-得:m=ny1+y2x1+x2,因为y1+y2x1+x2=y1+y22-0x1+x22-0=22,所以m=22n,所以mn=22.答案:2214.直线y=kx+1(kR)与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2
13、)x2+10kx+5-5m=0.由m0,5k20,知m+5k20,故=100k2-4(m+5k2)(5-5m)0对kR恒成立.即5k21-m对kR恒成立,故1-m0,所以m1.又因为m5,所以m的取值范围是m1且m5.答案:m1且m5【易错警示】本题易忽略隐含条件m5而出错.15.(2015山东高考)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=ba(x-c)代入x2a2-y2b2=1消去y得x2a2-ba2(x-c)2b2=1,因为xP=2ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为()A.22,1B.22,1C.0,22D.0,22【解析】选A.由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以a2c,因为e=ca,0e1,所以22eb0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离
